Vamos lá gente boa:
Primeiramente vou colocar as formulas do termo geral e da soma dos termos:
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an = a1 + (n-1) * R
Sn = (( a1 + an ) *n ) /2
an é o valor do termo ou se substituir somente o n por um número será o termo que você está atrás.
a1 é o primeiro termo, caso precisa o a2 seria o segundo, o a3 o terceiro e assim vai...
n a quantidade de termo que estou procurando
R é a Razão
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usando a fórmula da soma dos termos, vamos lá:
Sn = (( a1 + an ) *n ) /2
Substituindo...
1025 = (( a1 + a25 )* 25 ) / 2
Passando o 2 para o outro lado e multiplicado o 1025
2050 = (a1 + a25) * 25
agora precisamos "converter" o a25 -> pra isso vou usar a formula geral dos termos, veja como vai ficar
an = a1 + (n-1) . R
Convertendo...
a25 = a1 + 24R
Agora vou pegar o a25 que é mesma coisa (igual) -> a1 +24R e colocar na formula da soma dos termos
vamos lá:
2050 = (a1 + a1+24R) * 25
agora vou fazer a multiplicação do 25 com tudo que está em parenteses, ficando assim
2050 = (a1 + a1+24R) * 25
2050 = (2a1 + 24R) * 15
fazendo a multiplicação:
2050 = (30a1 + 600R)
agora eu sei que 30a1 + 600R = 2050
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agora eu tenho que encontrar dois valores para substituir o a1 e R para que seja igual a 2050
os valores só podem ser ser 5 ou 3 no a1 e R ou 3 ou 5 no a1 e R, respectivamente, ambos vão dar 2050, ou seja,
a resposta só pode ser ou a letra A ou letra C
vamos em frente...
eu sei que se eu pegar a1 + a5 da questão e dividir por 2 vai ser igual o a3, vou usar o a3 pra não ter dúvida que vou escolher a resposta certa.
então vamos nessa
a1 + a5 = 22
22/2 = a3
a3 = 11
Usando a fórmula do termo geral novamente, agora pra achar o a1.
veja só
Agora eu tenho somente dois possíveis valores pra usar no R ou o 3 ou 5 e tem que satisfazer a minha equação:
30a1 + 600R = 2050
11 = a1 + 2R
substituindo o R por 5
11 = a1 + 2*5
11 = a1 + 10
11-10= a1
a1= 1
a1 não pode ser 1, pois não satisfaz a minha equação 30a1 + 600R = 2050, portanto só sobra apenas o 3
vamos em frente :
11= a1 + 2*3
11= a1 + 6
11-6 = a1
a1=5
pronto, se eu substituir o a1 e a R vai dar exatamente 2050 e vai satisfazer a minha equação, portanto os valores pro a1 e R são
a1= 5 e R =3
Resposta: LETRA (A)
Renê Andrade
Recife-PE , 24/07/2020.
Primeiro usamos a fórmula da soma dos termos :
Sn = (a1 + an) . n / 2
ou seja :
1025 = (a1 + a25) . 25 / 2
passamos o 25 que está multiplicando , dividindo o 1025
1025 /25 = (a1 + a25 ) / 2
41 = (a1 +a25) /2
em seguida passa o 2 que está dividindo, multiplicando o 41
41 . 2 = ( a1 + a25 )
82 = a1 + a25 ou a1 + a25 = 82 (guardamos esse resultado para usar em seguida como uma das equações do sistema)
Agora com as informações dadas pelo enunciado mais a conclusão acima já podemos montar um sistema :
a1 + a5 = 22 (informada no enunciado), substitui-se a5 por a1+ 4r
a1 + a1 + 4r =22
e
a1+ a25 = 82 (encontrada usando a fórmula da soma dos termos), substitui-se a25 por a1 + 24r
a1 +a1 + 24r = 82
Monta-se com o sistema com as duas linhas sublinhadas :
a1 + a1 + 4r = 22
2a1 + 4r = 22
a1 + a1 + 24r = 82
2a1 +24r = 82
agora resolve-se esse sistema multiplicando uma das linhas por ( -1 ) , escolhi a primeira
-2a1 - 4r = -22
2a1 + 24r = 82
corta-se o -2a1 com o 2a1 , soma-se o restante e vamos encontrar o r , ou seja , a razão
20r = 60
r = 60/20
r = 3 - achando a razão já seria possível escolher a alternativa A , mas podemos facilmente encontrar o a1 substituindo em qualquer uma das equações em negrito e sublinhadas
2a1 + 4r = 22
2a1 + 4 . 3 = 22
2a1 + 12 = 22
2a1 = 22 - 12
2a1 = 10
a1 = 5