Pois para mim apareceu o gabarito sendo D Gabriel... e se você observar bem é a D mesmo. Basta perceber exatamente que 1,1 é a razão da PG. Depois disso você aplica à formula do número de termos da PG. Eu supus que a população era 100 pessoas, inicialmente e o enésimo termo (que queria descobrir que termo era esse) seria 200 (o dobro que a questão sugere). Então você descobre que "n" dá 8,5. ou seja, para dobrar a população você precisava multiplicar o 100 por 1,1 "8,5" vezes.
Para facilitar entendi que a resposta ficaria entre 7 x 7,5 anos e 8 x 7,5 anos, portanto, entre 52,5 e 60 (item D).
E aí, depois tire a prova multiplicando na calculadora 100 por 1,1 e assim por diante até perceber que 8 vezes fazendo isso aparecerá o primeiro número a passar de 200 (mas, não dá 200 fechado claro), então o 200 fica entre o 7º e o 8º termos da PG. Logo, se de um termo para o seguinte temos 7,5 anos (já que multiplicamos por 1,1 devido os 10% que ocorre a cada 7,5 anos), então fazemos a multiplicação que citei acima para ver em que intervalo temos esse tempo.
A questão fala que a população aumenta 10% a cada 7,5 anos. Precisamos descobrir quantas vezes (n) ela precisa aumentar em 10% para dobrar a população inicial.
Para facilitar a visualização, suponha que a população inicial é 100:
100 x (1,1)^n = 200
[Passando o 100 para o outro lado dividindo]
(1,1)^n = 2
[Usando log dos dois lados]
log 1,1^n = log 2
[propriedade do expoente que vira multiplicador]
n x log 1,1 = log 2
n x 0,04 = 0,3
n= 7,5
Portanto, foi necessário a população aumentar 10% por 7,5 vezes para dobrar o valor inicial
7,5 x 7,5 anos = 56,25 anos