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GABARITO - A -10
Fiz pelas alternativas
C e D você já exclui pois se:
a15 for 36 o a14 será 38 --> 36+38 = 74 o que já ultrapassa a soma da PA
se a15 for 28 o a14 será 30 e o a13 será 32 --> 28+30+32 = 90 ultrapassando a soma da PA
Como a soma dos 15 primeiros termos dá 60 e a razão é negativa (-2) então peguei o menor valor para a15 = -10
Agora basta "voltar" até chegar ao a1 sempre somando +2:
a15= -10 , -8 , -6 , -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, a1= 18
Agora basta conferir somando tudo
De a1 até a10 --> 18+16+14+12+10+8+6+4+2+0 = 90
De a11 até a15 --> (-2) + (-4) + (-6) + (-8) + (-10) = -30
90 + (-30) = 60 --> que é a soma dos 15 dos primeiros termos.
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GABARITO A
Basta analisar por tentativa
An= a1+ (n-1).r
a15= a1 + (15-1). ( -2)
-10= a1 + (14)(-2)
-10= a1 - 28
-a1= -28+10
-a1= -18 (-1)
a1= 18
Basta agora fazer a contra prova c/ a formula da soma da P.A
Sn= (a1+an)n/2
60 = (18+an)15/2
120 =270+15n
-15an = 270-120
-15an = 150 (-1)
15an = -150
an = -150/15
an = -10
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Resolvi usando as fórmulas , primeiro a da soma de P.A.s
Sn = a1 + an . n/2
60 = a1 + a15 . 15/2
60:15 = a1 +a15/2
8 = a1 + a15 ou a1 + a15 = 8
agora que já temos essa equaçao, podemos encontrar o valor de a1
a1 + a15 = 8 (sendo que a15 = a1 + 14r, substituímos )
a1 + a1 + 14r = 8
2a1 + 14 . -2 = 8
2a1 -28 = 8
2a1 = 8 + 28
2a1 = 36
a1 = 18
então calcula-se o a15
a15 = a1 + 14r
a15 = 18 + 14 . -2
a15 = 18 - 28
a15 = -10
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A média aritmética revela o valor do meio, ou seja, revela o a8:
a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10+a11+a12+a13+a14+a15 / 15
a questao diz que a soma desses termos = 60
60/15 = 4 meu a8 = 4
Logo, PA é ''aquilo que eu quero (a15) = aquilo que eu tenho(a8) + 7 (o que falta para complementar 15) * razao (-2)
a15 = a8 + 7 *(-2)
a15 = 4 - 14
a15 = -10
obs: de onde saiu o 7? 15-8 = 7 (7 é o que falta para complementar o 15)
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Sn = ( n * (a1 + an)) / 2
S15 = (15 * (a1 + a15)) / 2 (I)
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an = a1 + (n-1)*q
a15 = a1 + (15-1) * (- 2)
a15= a1 - 28 , isolando o a1
a1 = a15 + 28 (II)
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Substituindo (II) em (I), temos:
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S15 = (15 * (a15 + 28 + a15)) / 2
60 = (15 * (2 a15 + 28)) / 2
120 = 30 a15 + 420
120 - 420 = 30 a15
-300 = 30 a15
a15 = - 10
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Quando a questão fala em número ÍMPAR de termos de uma PA, já devemos ficar alertas para o possível uso de duas propriedades importantes nesses casos. Precisaremos achar o termo do meio da PA de 15 termos para resolver rapidamente a questão.
PROPRIEDADE 1 – Para achar o termo do meio de uma PA com número ÍMPAR de termos devo utilizar uma fórmula simples que é: o número de termos da PA mais 1, dividido por 2 é igual ao termo do meio. No caso,15 + 1 / 2 = 8. Logo, o termo do meio é a8.
PROPRIEDADE 2 - Se eu tenho uma PA com número ÍMPAR de termos, para achar a soma dos termos dessa PA, devo multiplicar a quantidade de termos dela (15) pelo termo do meio (a8) e acho. No caso, irei descobrir que número é o termo do meio já que a questão já deu a soma (60) e o número de termos (15):
SOMA = 15 x a8
60 = 15 x a8
A8 = 4
Achando a8, descubro a15 pela fórmula geral da PA (an = a1 + (n-1) r):
a15 = a8 + 7 x r
a15 = 4 + 7 x (-2)
a15 = 4 – 14
a15 = -10
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Resolução em vídeo (50s)
http://sketchtoy.com/69285934
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a15=a8 +*(-2)
a15=4+7*(-2)
a15=4-14
a15=-10
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Média= Soma de todos os termos/ qtd de termos (isso a questão já deu) 60/15= 4
Se a quantidade de termos for ímpar, a média dos termos coincide com o termo central da progressão aritmética. Que nesse caso é A8= 4
Aquilo que eu quero (a15) = aquilo que eu tenho(a8) + 7 * razao (-2)
a15 = a8 + 7 *(-2)
a15 = 4 - 14
a15 = -10
Obs! Esse 7 é a diferença entre os índices A15 e A8 (15-8)
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Minha contribuição:
Coloquei A1 em razão de A15 e substitui na fórmula de soma de termos de uma P.A.
An = A1 + (n - 1) x r
A15 = A1 + 14 (--2)
A1 = A15 + 28
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Sn = (A1 + An) x n / 2
S15 = (A1 + A15) x 15 / 2
60 = (A15 + 28 + A15) x 15 / 2
120 = (2A15 + 28) x 15
120 = 30A15 + 420
-300 = 30A15
A15 = - 10