I) A relação maior ou igual não é equivalente, pois a >= b não quer dizer que b >= a, ou seja, não é simétrica. Logo, não é equivalente.
II) Retas formando um ângulo de 90º é um caso de simetria (A perpendicular à B e o oposto é verdade), mas não de transitividade. Isto é, se tiver três retas (A,B,C), o fato de A ser perpendicular à B e B à C, não quer dizer que C seja perpendicular à A. Se não é transitividade, não é equivalência.
III) Relação ter nascido no mesmo ano --> é uma relação simétrica, pois se Neymar nasceu no mesmo ano que Quirino, quer dizer que Quirino nasceu no mesmo ano que Neymar. É transitiva, pois se Ribamar nasceu no mesmo ano que Quirino, quer dizer que Ribamar nasceu no mesmo ano que Neymar.
Obs: acho que o raciocínio é esse kkkkkkkkk peçam o comentário do professor.
Resposta: C
Para mostrar que uma sentença aberta é uma relação de equivalência temos que mostrar que a mesma é reflexiva, simétrica e transitiva, vide definição e exemplos na própria questão.
Uma maneira de mostrar é utilizar elementos específicos do conjunto mencionado.
Exemplo: A relação todo pássaro é um papagaio é uma relação de equivalência.
Se não vejamos:
Solução:
Para a sentença aberta ser uma relação de equivalência, ela deve ser reflexiva, simétrica e transitiva.
Reflexiva: Se o Lôro José é um papagaio então o Lôro José é um papagaio. (check)
Simétrica: Se José é papagaio e Maria é papagaio, então Maria é papagaio e José é papagaio.(check)
Transitiva: Se José e Maria são papagaios e Maria e Raimundo são papagaios, entao José e Raimundo sao papagaios.(check)
Agora iremos para os ítens da questão:
i) A relação maior do que ou igual a, aplicada ao conjunto dos números naturais, é uma relação de equivalência.
i1) Reflexiva: se x>-x então x>-x.(check)
i2) Simétrica: se x>-y, então y ão é maior que x. (não é simétrica, logo isso prova que a sentença não é uma relação de equivalência.
i3) Transitiva: se x>-y e y>-z, então x>-z.(check)
ítem i é falso, pois se nao for reflexiva, simétrica e transtivia não é uma relação de equivalência.
ii) Definindo retas perpendiculares como retas que formam 90°, a relação de perpendicularidade, aplicada às retas do plano, é uma relação de equivalência.
Sejam r, s e t retas do plano,
ii1) Reflexiva: r não pode ser perpendicular a ela mesma, logo não é reflexiva.
ii2) Simétrica: Se r é perpendicular a s entao s é perpendicular a r.(check)
ii3) Transitiva: Se r é perpendicular a s e s é perpendicular a t nao podemos afirmar que r é perpendicular a t. logo nao é transitiva. Podemos afirmar que r é paralela a t.
ítem ii é falso pois ela não é reflexiva nem transitiva.
iii) A relação ter nascido no mesmo ano, aplicada a todos as pessoas da humanidade, é uma relação de equivalência.
iii1)Reflexiva: X nasceu no mesmo ano que ele mesmo.(check)
iii2)Simétrica: Se x e y nasceram no mesmo ano, entao y e x nasceram no mesmo ano.(check)
iii3)Transitiva: Se x e y nasceram no mesmo ano e y e z nasceram no mesmo ano, entao x e z nasceram no mesmo ano.(check)
Logo, o único intem verdadeiro é o item 3.