Vamos descrever os termos dessa PG de razão √2
a1 = 1
a2 = a1 . q, portanto a2 = √2
a3 = a2 . q, portanto a3 = √2 . √2 = 4.
a4 = a3 . q = 4√2 .
a5 = a4 . q = 4√2 . √2 = 4 . 2 = 8
a6 = a5 . q = 8√2
a7 = a6 . q = 8√2 . √2 = 8 * 2 = 16.
.
.
.
an = a(n-1) . √2.
Logo temos a seguinte elementos.
(1, √2 , 4, 4√2 , 8, 8√2 , 16, 16√2, 32, ..)
Como o produto dos termos é igual a 2^18.
1 * √2 * 4 * 4√2 * 8 * 8√2 * 16 * 16√2 * 32 ... = 2^18.
Vamos transformar esses termos em potência de base 2.
(2^0) * (2^1/2) * (2²) * (2².2^1/2) * (2³) * (2³ . 2^1/2) * (2^4) * (2^4 . 2^1/2) * (2^5) ... = 2^18
Aplicando o propriedade de multiplicação de potência de mesma base, temos que conservar a base e soma os expoentes.
Logo, a soma será de:
(0) + (1/2) + (2) + (2 + 1/2) + (3) + (3 + 1/2) + (4) + (4 + 1/2) ... = 18.
concluímos que são necessários 9 elementos.
Outra resolução que utiliza as bases de exponenciais.
Pela fórmula dada:
2^18=(1×an)^(n/2)
2^18=an^(n/2)
18.log[2](2)=n/2.log[2](an)
18.1=n/2.log[2](an)
an=2^(36/n)
Mas, em uma P.G, sabemos que an=a1.q^(n-1) e que √2 = 2^(1/2).
Portanto,
2^(36/n)=1.[2^(1/2)]^(n-1)
A base dessa equação é igual nos dois lados, nos concentremos apenas nos expoentes.
36/n=n/2-1/2
1/2=n/2-36/n
1/2=(n^2-72)/2n
n=n^2-72.
72=n^2-n
72=n(n-1)
9×8=9(9-1)
Ou seja, n=9.
Gabarito B.