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Pensei da mesma forma que você e acabei errando a questão.
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Satanás trabalha na ESAF!!!
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Errada a C não está tb
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alguém tem a resolução dessa questão ?
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KKKKKKKKKK pessoas, dá trabalho mesmo, mas eu fiz aqui, posso lhes garantir que a questão não tem erro, o gabarito está correto. Não fiquem zangados, mas tô cansado demais prafazer a demonstração. Mas é basicamente isto:
p ↔ q
p → q ^ q → p
¬q → ¬p ^ q → p
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Assertiva D
se -1 < x < 1, então x2 < 1, e se x ≥ 1 ou x ≤ -1, então x2 ≥ 1.
Eq tem 2 Csos
Se A -> B
~b-> ~A
Usando " Ou"
~A ou b
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Análise:
Primeiro devemos ter em mente as equivalências lógicas.
Dadas as proposições simples p e q, a equivalente da Bicondicional é : (Vai "E" volta)
p ↔ q é igual a (p → q) ^ (q → p).
A equivalente da condicional é : ( Volta negando)
Assim:
(p → q) é igual a (¬q → ¬p ) (obs: Também conhecida como contra recíproca ou contrapositiva)
Logo p → q ^ q → p é igual a ¬q → ¬p ^ q → p .
E por último Regras DE MORGAN (1806-1871)
(i) ~(p ˄ q) é igual a ~p ˅ ~q;
(ii) ~(p ˅ q) é igual a ~p ˄ ~q .
No problema: x² ≥ 1 se e somente se x ≥ 1 ou x ≤ -1
Temos:
(x² ≥ 1) se e somente se ((x ≥ 1) ou (x ≤ -1))
(x² ≥ 1) ↔ ((x ≥ 1) v (x ≤ -1))
Fazendo:
x² ≥ 1=A
x ≥ 1 =B
x ≤ -1=C
Temos:
(A) ↔ (B v C)
Aplicando o equivalente da Bicondicional, temos: (Vai "E" Volta)
((A) → (B v C)) ^ ((B v C) →(A) )
Aplicando a contrapositiva antes do "^":
(¬(B v C)→¬(A)) ^ ((B v C) →(A) )
Assim:
(¬B^¬C) →¬A ^ (B v C) →A
¬B: ¬ (x ≥ 1)= ¬((x > 1) v (x = 1) ) = ¬(x > 1)^¬(x = 1 ) : x não é 1 e x não é maior que 1, logo ¬B=(x < 1)
¬C: ¬ (x ≤ -1)= ¬((x < 1) v (x = -1) ) = ¬(x < 1) ^¬(x = -1 ) : x não é -1 e x não é menor que -1, logo ¬C=(x >-1)
¬A: ¬ (x² ≥ 1) = ¬((x² > 1) v (x² = 1) ) = ¬(x² > 1) ^¬(x² = 1 ) : x² não é 1 e x² não é maior que 1, logo ¬A= (x²<1)
Substituindo em (¬B^¬C) →¬A ^ (B v C) →A, temos:
((x < 1)^(x >-1))→(x²<1) ^ (x ≥ 1 v x ≤ -1) →x² ≥ 1 , que nos diz
Se (x < 1) e (x >-1), então (x²<1), e se x ≥ 1 ou x ≤ -1, então x² ≥ 1, que é o mesmo que
Se -1 < x < 1, então x²<1, e se x ≥ 1 ou x ≤ -1, então x² ≥ 1. (Alternativa D)
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Na verdade a questão não é difícil e não está com o gabarito errado como algumas pessoas estão falando. O que acontece é que a banca colocou uma outra equivalência em uns dos termos da equivalência maior. Explicando
Sendo x um número real, a proposição: x2 ≥ 1 se e somente se x ≥ 1 ou x ≤ -1 equivale logicamente à:
traduzindo:
P: x2 ≥ 1
Q: x ≥ 1
R x ≤ -1
essa sentença pode ser expressa como P ↔ (Q ou R)...ora, a questão simplesmente pede sua equivalente.
equivalência de uma bicondicional do tipo A → B é (P → Q) ^ (Q → P), Portanto teremos:
((P) → (Q v R)) ^ ((Q v R) →(P) )... a questão deveria terminar aí e achamos a seguinte assertiva:
Se X² ≥ 1, então x ≥ 1 e x ≤ -1, e se x ≥ 1 ou x ≤ -1, então X² ≥ 1.......Porém tal assertava não existe
A grande sacada da questão foi que ela ao parou na primeira equivalência (Maldade da Banca), a banca preferiu fazer a equivalência do primeiro termo, ou seja, lança sua contra positiva. Voltemos a nossa resposta genérica encontrada para entender melhor o que aconteceu:
((P) → (Q v R)) ^ ((Q v R) →(P) )....O termo em azul foi convertido em sua equivalente, sua contra positiva, ficando assim:
(~(Q v R) →~P) ^ ((Q v R) →(P) )... aplicando a lei de morgam para o termo ~(Q v R) temos portanto:
(~Q ^ ~R) →~P) ^ ((Q v R) →(P) )
agora sim chegamos na resposta correta, mas ainda há mais um detalhe: as negações de Q e R!
vamos nos lembrar de que a negação de ≥ é < e vice-versa (NEGAÇÃO DE MAIOR E IGUAL DEVE SEMPRE MENOR QUE)
A negação a negação de ≤ é > e vice-versa (NEGAÇÃO DE MENOR E IGUAL DEVE SEMPRE MENOR QUE)
Q: x ≥ 1
R x ≤ -1
logo suas suas negações são:
Q: x ≥ 1 , sua negação é x < 1
R x ≤ -1, sua negação é x > -1
substituindo os termos na expressão encontrada temos:
(~Q ^ ~R) →~P) ^ ((Q v R) →(P) )
Se (x < 1) e (x >-1), então (x²<1), e se x ≥ 1 ou x ≤ -1, então x² ≥ 1....que escrita de outro modo é:
se -1 < x < 1, então x² < 1, e se x ≥ 1 ou x ≤ -1, então x² ≥ 1......assertiva D
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Essa questão foi sensacional.
Demorei um pouco para entender o que estava acontecendo, mas consegui desvendar.
Vamos usar uma simbologia para ficar mais fácil:
x2 ≥ 1= p
x ≥ 1= q
x ≤ -1= r
Conforme o enunciado, ficará assim:
p < - > q v r
Fazendo a equivalência, ficará assim:
(p -> q v r) <-> (q v r -> p)
Se você observar nas respostas e fazer a substituição, chegará a conclusão que a resposta não bate.
E realmente não bate, pois o examinador usou uma segunda equivalência, pegando apenas a primeira parte.
p -> q v r
~ (q v r) -> ~p (Resultado do inverte e nega)
Logo o resultado será:
[~ (q v r) -> ~p ] < - > (q v r -> p)
Gabarito letra D