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(m -3)x²+3x -9 =0
A= m-3
B= 3
C=-9
sabendo que a soma e produto das raízes respectivamente é: X´ + X´´= -B/A e X´. X´´= C/A , e a soma dos inversos das raízes é : SOMA/PRODUTO.
temos que: SOMA: -B/A / PRODUTO: C/A. substituindo:
-(+3)/m-3 / -9/m-3
= -3/m-3 . m-3/-9, ''cancelamos o ( m-3)''
= -3/-9
=3/9, simplificando por ''3'', temos: 1/3 a soma dos inversos!
mas a questão pede o seguinte ''Qual o valor de m na equação do 2º grau a seguir (para que suas raízes sejam inversas) ? esse ( para que suas raízes sejam inversas) pode ser entendi que a somas de suas raízes irá ser igual as somas das raízes ''originais'' inversas:
ex.1: X´ + X´´= -b/a / c/a
Mas já encontramos o ( -b/a / c/a ), que é igual a 1/3. Substituindo pelo ex.1 acima vamos ter:
x´+ x´´= 1/3 , mas como não sabemos as raízes '' originais '' podemos substituir ( x´ + x´´) por -B/A, assim :
-(+3)/ m-3= 1/3
-3 . 3 = (m-3) . 1
-9= m-3
-9 + 3 =m
-6=m.
logo, M= -6.
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(m -3)x²+3x -9 =0
a = (m -3)
b = 3
c = - 9
∆ = 3² - 4 × (m -3) × (- 9)
∆ = 9 - 4 × (m -3) × (- 9)
∆ = 9 + 36m - 108
∆ = 9 + 36m = 108
∆ = 9 + m = 108/36
∆ = 9 + m = 3
∆ = m = 3 - 9
∆ = m = - 6
gaba. D
Erros, podem me corrigir.
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GABARITO: D
Para que possamos resolver a questão de maneira mais simples (sem sequer calcular o delta), é necessário que conheçamos a definição de raízes inversas.
Assim, uma equação do 2° grau possuirá raízes inversas entre si quando o seu produto for igual a 1, ou seja, quando uma de suas raízes for k e a outra for 1/k.
Desse modo, seguindo a definição acima, é necessário que multipliquemos k e 1/k, para obtermos 1. Veja: k x 1/k = k/k = 1.
Observe que o que fizemos para obter o 1 como resultado foi mediante o produto das raízes, isto é, por meio da já conhecida fórmula: c/a. Se c/a é igual a 1, então podemos multiplicar "cruzado", caso em que obteremos a = c:
c/a = 1 > a = c
Agora, basta voltarmos a equação dada e conferir que valor de m fará a equação ter raízes inversas, separando somente o "a" e o "c":
a = c
m - 3 = - 9
m = - 9 + 3
m = - 6
Temos que o valor é - 6. Para tirarmos a prova, basta substituir m por - 6: - 6 - 3 = - 9. Aplicando na fórmula do produto: - 9/ - 9 = 1
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Para as raízes serem inversas o produto, ou seja, X1*X2=C/A, tem que ser igual a 1. Assim, C/A=1.
Logo:
C=A
C=-9
A=(m-3)
-9 = m-3
m=-6
Gab.: D