Inicialmente precisamos descobrir o valor de pelo menos um ângulo, para achar a relação entre os lados pela lei dos cossenos.
Se os ângulos estão em P.A:
(x, x+r , x+2r)
Sabemos que a soma dos lados de um triângulo vale 180º
x+ x+r + x+2r = 180º
3x + 3r = 180
x+ r = 60º -----> O lado mediano tem 60º. Sabendo disso, podemos utilizar agora a lei dos cossenos.
b² = a² + c² - 2 a.c. cos 60º ----> cos 60º vale= 1/2
b² = a² + c² - 2 a.c. 1/2
b² = a² + c² - ac
Reorganizando a equação temos:
b² + ac= a² + c²
Sabemos que aº + bº + cº = 180º
Sendo a PA = {a1, a2, a3}, onde a2 = a1 + r e a3 = a1 + 2r, temos:
a1 + a2 + a3 = 180º
a1 + a1 + r + a1 + 2r = 180º
3a1 + 3r = 180º
a1 + r = 60º
Como a1 + r é o segundo elemento da PA, ou seja, é o ângulo bº, então este vale 60º. Vamos aplicar a lei dos cossenos:
b² = a² + c² - 2.a.c. cos(60º)
b² = a² + c² - 2.a.c. 1/2
b² = a² + c² - a.c
b² + a.c = a² + c²
Fonte: https://www.exercicios-resolvidos.com/2021/01/unicamp-2021-considere-que-os-angulos.html