A resposta do Pedro está incorreta. Segue minha resolução:
log7 (w) + log49 (w) = 2
log7 (w) + log7² (w) = 2
log7 (w) + 1/2 * log7 (w) = 2
1 * log7 (w) + 1/2 * log7 (w) = 2
2/2 * log7 (w) + 1/2 * log7 (w) = 2
[2log7(w)]/2 + [log7 (w)]/2 = 2
[2log7 (w) + log7 (w)]/2 = 2
2log7 (w) + log7 (w) = 2 * 2
log7 (w²) + log7 (w) = 4
log7 (w² * w) = 4
log7 (w³) = 4
w³ = 7⁴
w = ∛7⁴
Gabarito: Alternativa B)
A resolução de Pedro não está incorreta, indo de encontro ao comentário do colega Nasgovaskov. Vou decifrar o cálculo realizado por ele:
1) logw + logw = 2; logw = x e logw = y
logw = x; 7^x = w (1)
logw = y; 7^2y = w (2)
2) Iguale os valores de w encontrados:
7^x = 7^2y; x = 2y (1) e y = x/2 (2)
Agora vocês terão: logw = x e logw = y = x / 2
3) Substitua (1) e (2) na equação de origem:
x + x/2 = 2; 3x = 4; x = 4/3
4) Se logw = x ; logw = 4/3; w = 7^4/3;
w = ∛7⁴
Agora eu vou apresentar uma maneira muito mais fácil de resolver a questão:
logw + logw = 2;
UMA DAS PROPRIEDADES DO LOGARITMOS:
log de "a" na base "b" = loga / log b
log w / log 7 + log w / log 49 = 2;
log w / log 7 + log w / 2 x log 7 = 2; (mmc: 2 x log 7)
2 x log w + log w = 4 x log 7;
3 x log w = log 7^4;
w^3 = 7^4;
w = ∛7⁴
GABARITO: B
OBS: Apesar de estarmos em uma olimpíada do QC onde os competidores saem resolvendo a questão sem explicar nada, num cenário onde o individualismo impera, separei um pouco do meu tempo para explicar e simplificar uma questão fácil aparentemente mas que gera muita dúvida nos alunos. Lembrem-se: as premiações aos vencedores das olimpíadas vão perecer um dia, mas o conhecimento compartilhado nunca perecerá e gerará um resultado muito mais valioso e justo que as premiações; premiações estas que muitos, de maneira totalmente desleais e inconsequentes, estão almejando.
Que Deus abençoe o estudo de todos nós!
@simplificandoquestoescombizus (Jefferson Lima)