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Nessa questão, temos um caso clássico de análise combinatória, do tipo "Combinação". O problema é que estamos acostumados com a questão informando a quantidade de elementos que combinaremos e sendo solicitada a quantidade de combinações. Aqui temos o inverso, a questão informa a quantidade de combinações e solicita o número de elementos do grupo. Vamos lá:
Primeiro vamos montar a equação:
C(m,2) = 120
m!/[(m-2)!.2!] = 120
Agora, sabemos que m! é o mesmo que m.(m-1).(m-2).(m-3)!... . Assim, vamos desenvolver o numerador m! até (m-2)! para poder "cortar" com o elemento do denominador:
[m.(m-1).(m-2)!]/[(m-2)!.2!] = 120
[m.(m-1)]/[2] = 120
m.(m-1) = 240
m2 - m - 240 = 0
Resolvendo esta equação de segundo grau, encontramos m = 16 ou m = -15 (esta solução não é possível para a questão). Assim, temos que o grupo é formado por 16 elementos. Resposta letra "c".
FONTE:http://raciociniologico.50webs.com/SENADO2008/SENADO2008.html#Questão 05
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Existe também uma maneira de resolver essa questão, que eu particularmente acho mais fácil. Porém talvez um pouco mais difícil de se entender:
Suponhamos que na festa tenham x convidados.
Cada convidado da festa comprimentará todos os outros convidados uma unica vez.
Obviamente, uma pessoa não pode se auto-comprimentar.
Se multiplicarmos então x por x-1, vamos obter o dobro de comprimentos da festa. Já que A comprimentar B é o mesmo que B comprimentar A.
Portanto dividiremos a multiplicação de x por x-1 por 2:
Então o número de apertos de mão pode ser obtido por: [(x).(x-1)]/[2]
Logo: [(x).(x-1)]/[2]=120
Desenvolvendo obtemos: x2-x-240=0
Para resolver, precisamos utilizar Báskara: x=(-b±√(b2-4ac))/2a
Obtemos x=16
Logo, letra "a"
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Não entendi....alguém poderia dar uma explicação mais "simples"?
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Para o cálculo de subconjuntos existe uma fórmula (2 elevado a n), onde n é o número de elementos do conjunto.
Logo, o número de subconjuntos é sempre potência de 2.
O conjunto das potências inteiras de 2 são 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ...
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Acho que o Arthur comentou bem a questão.
Eu só faria mais simples.
Após verificarmos a fórmula de solução : m.(m-1) / 2 = 120 , fica mais fácil aplicarmos os resultados propostos pela própria questão e verificarmos qual deles resolve o problema.
Não corremos riscos e não teremos ainda que resolver uma equação de 2º grau. Tempo, amigos ! Tempo ! Sempre ele !!!
Ex :
m. (m-1) / 2 = 120 , aplicando a proposta da letra "a' : 14. Ao tentarmosresolver a fórmula verificamos que não é possível: 14. 13 = 182
Já a letra "c", nos dá : 16.15 = 240. Questão resolvida . Resposta correta letra "c" e "bola prá frente" !!
Ou seja, pegamos as propostas da própria questão e aplicamos na fórmula, até encontrarmos a resposta correta.
Espero ter ajudado.
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Eu fiz mais simples! Basta pegar e fazer 14 . 14 = 196/2 está fora ... 15.15 = 225/2 está fora... logo só resta, por eliminação a letra c ... o resultado não será exato, mas para quem não lembrar a formula, creio que fica mais fácil.
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Para que tanta fórmula complicada meu povo, mtoo mais facil assim:
Pega o número de pessoas presentes + 1, multiplica pela metade das pessoas e subtrai pelo numero de pessoas presentes. Vejamos:
(n+1).(n/2)-n, ou seja:
(14+1).(14/2)-14=
15.7-14=
91
(15+1).(15/2)-15=
16.7,5-15=
105
(16+1).(16/2)-16=
17.8-16=
120
......
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Gente, vocês estão tornando complicada uma questão simples.
Basta saber que se trata de Combinação.
Fórmula da Combinação: n!/p!(n-p)!
Testando a alternativa "a" --> 14! / 2!(14-2)! = 14*13/2 = 91 (errado)
Testando a alternativa "b" --> 15! / 2!(15-2)! = 15*14/2 = 105 (errado)
Testando a alternativa "c" --> 16! / 2!(16-2)! = 16*15/2 = 120 correto!
Dica: quando for testar as alternativas, comece sempre resultado "do meio", nunca pelos resultados extremos. Assim, caso não acerte de primeira, já elimina outros dois testes. Nessa questão, por exemplo, já acertaria de primeira.
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Questão de cominatório
Ao escolhermos a alternativa C (16 pessoas) e inserimos na formula de combinatória:
C216 = __16!___ = 120 apertos de mão
2! (16!-2!)
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Para quem quiser fazer na unha:
O primeiro convidado pode dar 15 apertos de mão.
O segundo, desconsiderando que ele ja aperou a mão do primeiro, 14 apertos de mão.
O terceiro, 13 apertos de mao.
O quarto, 12
O quinto, 11
O sexto, 10
O sétimo, 9
O oitavo, 8,
O nono, 7
O decimo, 6
O decimo primeiro, 5
O decimo segundo, 4
O decimo terceiro, 3
O decimo quarto, 2
O decimo quinto, 1
O decimo sexto, 0
Somando todos os apertos de mãos, teremos 120 apertos!!!!
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Eu estava quebrando a cabeça para tentar resolver este exercício sem usar o bom e velho método tentativa e erro e inventei uma resposta que gostaria que alguém avaliasse se por acaso faz algum sentido...ou se eu chutei muito bem
eu só decompus 120 em fatores primos
120 2
60 2
30 2
15 3
5 5
1 =23+3+5=8+8=16
isso faz algum sentido?
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Vinícius, francamente ...
Só coincidência, o correto é
Cn,2 =120 ---> n!/{(n-2)! 2!} = 120 ---> n.(n-1).(n-2)! /( (n-2)! 2! = 120 ---> n.(n-1)=240 que é a formula do arthur!
aliás a formula do primeiro que comentou..
Voces devem guardar de cabeça alguns numeros magicos.. ( potencias de 2 --> 10 ^2 =100 rs..
11^2 =121 , 12^2=144 ( 1 grosa ) , quem mexe com informática deve saber varias potencias de 2 256=16x16=2^8
elas ajudam por exemplo 16x16=16^2=256 e a formula diz que n * (n-1) = 240
portanto n=16
[ ]s
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Eu resolvi da seguinte forma
1 pessoa 0 comprimento
2 pessoas 1 comprimento
3 pessoas 2 comprimento
...........................................
e assim por diante
portanto imaginemos que a1=0 a2=1 a3=2 e assim por diante sendo que,como se pode ver,an é sempre n-1
então se imaginarmos que a soma dos n termos é igual a 120 então temos a formula da soma:
Sn = (a1+an).n
2
onde Sn= 120 e a1 = 0
portanto temos que buscar um numero (an) que multiplicado por outro numero (n) e em seguida dividido por 2 seja igual a 120
Ora se an na PA é sempre um numero menos um (pois 2 pessoas 1 comprimento,3 pessoas 2 comprimentos) então por eliminatória das alternativas temos:
120 = (0 + 16).15
2
120= 120
portanto o numero que se pode substituir an na formula da soma dos termos para que se obtenha a soma total de 120 é o 16
Sei que deve haver alguma outra forma de resolver este problema sem ter que eliminar alternativas,porém essa foi a unica maneira que consegui resolver..
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É uma questão chata, mas não podemos errar uma questão desse tipo:
Gostei de uma das explicações acima. O raciocínio está correto e é simples de fazer:
É uma forma de resolver por eliminação:
A) A primeira opção é 14: então se tinham 14 pessoas, cada uma delas não cumprimenta a si mesmo (por isso divide por 2). Sendo assim: 14 x 13 / 2 = 91. ERRADO
B) A segunda opção é 15: seguindo o mesmo raciocínio: 15 x 14 / 2 = 105. ERRADO
C) 16 x 15 / 2 = 120 CERTO
D) 18 x 17 / 2 = 153 ERRADO
E) 20 x 19 / 2 = 190 ERRADO
Outra forma de fazer, mais trabalhosa, mas que também conseguimos chegar ao resultado correto é a seguinte: Acompanhe o raciocínio:
Se 2 pessoas se cumprimentam = Há apenas 1 cumprimento
Colocando mais uma pessoa neste círculo (3 pessoas): some os anteriores ( 2 pessoas + 1 cumprimento) = 3 cumprimentos
4 pessoas: some os anteriores (3 pessoas + 3 cumprimentos) = 6 cumprimentos
e assim por diantes...
5 pessoas: some os anteriores (4 pessoas + 6 cumprimentos) = 10 cumprimentos
...
6 pessoas = (10+5) 15 cumprimentos
7 = (6+15) 21
8 = (21+7) 28
9 = (28+8) 36
10 = (36+9) 45
11 = (45+10) 55
12 = (55+11) 66
13 = (66+12) 78
14 = (78+13) 91
15 = (91+14) 105
16 = (105 + 15) 120
Sei que são formas primárias de se resolver, mas muitas vezes na hora da prova esquecemos fórmulas e essas maneiras nos dão uma maior tranquilidade na resolução de uma questão, mesmo gastando mais tempo, porque o que importa é chegarmos ao resultado CORRETO.
Espero ter ajudado.
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16 pessoas formam dois grupos de oito integrantes
1º grupo 2º grupo
8 pessoas 8 pessoas
no 1º grupo cada integrante se cumprimenta entre si que fica igual a 7+6+5+4+3+2+1+0=28 apertos de mão
no 2º grupo cada integrante se cumprimenta entre si que fica igual a 7+6+5+4+3+2+1+0=28 apertos de mão
o 1º grupo cumprimenta o 2º grupo que é igual a 8x8=56
Somando respectivamente os resultados: 56+28+28= 120 apertos de mão
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O amigo acima me parece que faltou às aulas de tabuada.
Primeiro: 8x8=64 e não 56 como foi colocado.
Segundo: 56+28+28=112 e nao 120 como também foi colocado.
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A RESOLUÇÃO SE TORNA FACIL USANDO O TRIANGULO DE PASCAL
SÓ OBSERVAR ONDE 120 APARECE NA COLUNA 2 RESPOSTA NA LINHA 16.
É SÓ CONFERIR NO TRINGULO DE PASCAL
http://4.bp.blogspot.com/-L0lnYvgNy1w/T0pvjSS8hzI/AAAAAAAAAI4/7P9mBzrNfxs/s1600/Triangulo_de_pascal.jpg
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A questao e bem simples, basta olhar as respostas e verificas se a quantidade de apertos de mao em cada resposta vai dar 120, se der e a resposta correta:
tendo como base a resposta c 16 vamos observar:
1 pessoa comprimenta 15 pessoas.
2 pessoa comprimenta 14 pessoas. (a primeira ja foi comprimentada por ela)
3 pessoa comprimenta 13 pessoas
4 pessoa comprimenta 12 pessoas
5 pessoa comprimenta 11 pessoas
6 pessoa comprimenta 10 pessoas
7 pessoa comprimenta 9 pessoas
8 pessoa comprimenta 8 pessoas
9 pessoa comprimenta 7 pessoas
10 pessoa comprimenta 6 pessoas
11 pessoa comprimenta 5 pessoas
12 pessoa comprimenta 4 pessoas
13 pessoa comprimenta 3 pessoas
14 pessoa comprimenta 2 pessoas
15 pessoa comprimenta 1 pessoas
16 pessoa comprimenta 0 pessoas (todos ja se comprimentaram)
basta somar: 15+14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1+0 = 120 (alternativa c)
bons estudos
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Varias maneiras de resolver. Uma delas é somar todos os numeros do penultimo ao 1°. e.g: se fossem 4 pessoas, seriam 6 combinações. 3+ 2+ 1. Se fossem 6, seriam 15: 5+4+3+2+1. E assim por diante. Outro meio é a formula: Total = ((x^2)-x)/2, a qual só é valida para combinações duplas. Na formula, temos 120= ((x^2)-x)/2 x²-x = 120. resolvendo bascara, temos soluções 16 e -15. Porque a resposta é positiva, 16 é a unica solução para o problema.
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Bhaskara
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Se temos n pessoas, o número de cumprimentos é dado pela combinação das n pessoas, 2 a 2, ou seja:
Aqui você tem dois caminhos: ou você encontra um número n que, multiplicado por seu antecessor (n – 1), é igual a 240, ou resolve a equação de segundo grau n – n – 240 = 0.
Optando pelo primeiro caminho, veja que, se n = 16, temos que 16 x 15 = 240.
Portanto, o gabarito é letra C.
Se decidíssemos resolver a equação de segundo grau, teríamos:
Assim, teríamos n = 16 e n = -15. Como o número de pessoas não pode ser negativo, devemos optar por n = 16.
Resposta: C
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Numa reunião de "n" pessoas uma mesma pessoa pode dar as mãos "n - 1" vezes para diferentes pessoas (uma vez que ela não vai cumprimentar a si mesma, subtrai-se 1). Como existem "n" pessoas que podem dar as mãos "n - 1" vezes, o total de cumprimento será: "n" x "n -1". Porém, num cumprimento de mãos, "A" cumprimentar "B" é igual a "B" cumprimentar "A", portanto é necessário se dividir por 2 para que o mesmo cumprimento não seja computado duas vezes: Nº cumprimentos = "n" x "n -1" / 2 = 120.
Chega-se à equação do 2º grau: (n² - n) / 2 = 120 => n² - n = 240 => n² - n - 240 = 0. Esta equação tem a raiz positiva n = 16. Que é a resposta.
A raiz é obtida pela fórmula de bháskara da equação do 2º grau.
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Condição em que todas as pessoas se cumprimentem ,respectivamente:
1 APERTO DE MÃO = 2 PESSOAS
3 APERTOS DE MÃOS = 3 PESSOAS
6 APERTOS DE MÃOS = 4 PESSOAS
Nota: Não tem como ter 2 apertos de mãos, pois a ordem é irrelevante ( A aperta B, e B aperta A = 1 cumprimento),ou seja,estamos em um caso de Combinação. Observe
C(4,2) = 6
6 APERTOS DE MÃOS = 4 PESSOAS
logo,
C(16,2)= 120
É o tipo de questão, que pra facilitar tem que entender e fazer pelas alternativas!
Você é capaz!
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Instan chama lá Biel,.sx
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Galera falando em ganhar tempo testando as alternativas. É só conhecer as relações de Girard. 2 números que multiplicados fique -240 e que somado fique 1. Já sabemos que teremos dois números consecutivos onde o menor é negativo. Agora só saber o número inteiro com raiz mais próxima de 240. No caso 256, cuja raiz é 16. Assim termos 16 e -15. RESPOSTA: C
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Fiz por PA decrescente
3 pessoas = 3+2+1 aperto de mão (PA)
6 pessoas = 5+4+3+2+1 apertos de mão, (PA)
Logo, n pessoas = (n-1) + (n-2) + (n-3) + ... (1) aperto de mão = 120 apertos de mão=> Somatório dos termos da PA em negrito
Soma dos termos de uma PA = n(a1 + an) / 2
a1 = n-1
an =1
n=total de pessoas
total de termos da PA dos apertos de mão= total de pessoas menos-1
logo, 120 = [n-1(n-1 + 1) ]/ 2 = n^2 -n - 240 = 0 ou n=16 ou n=-15
n=16 pessoas.