Questão 524047

• Banca: FGV
• Órgão: Senado Federal
• Ano: 2008
• Provas: FGV - 2008 - Senado Federal - Consultor de Orçamento
• Disciplina: Raciocínio Lógico
• Assuntos: Raciocínio Matemático

Em um jogo de duas pessoas, os jogadores tiram, alternadamente, palitos de uma pilha que inicialmente tem 1000 palitos. Em cada jogada, o jogador pode retirar 1, 2, 3, 4 ou 5 palitos.

Ganha o jogador que tirar o último palito da pilha.

Para assegurar sua vitória, o jogador que começa deve retirar a seguinte quantidade de palitos:

• A. 1.
• B. 2.
• C. 3.
• D. 4.
• E. 5.

Gabarito: D

Comentários

• Letra d = 4 palitos
  
  Como é um jogo alternado é preciso que o primeiro jogador tire o número máximo de palitos menos uma unidade. Assim é preciso iniciar com 4 palitos.
  
  Por exemplo, numa simulação no MS Excel, se os jogadores tirarem o máximo possível em cada jogada, teremos na jogada 102 a sobra de um palito para quem iniciou o jogo.
  
  
• Primeiramente, temos que pensar numa estratégia a seguir, que deve independer do número de palitos retirados pelo "adversário".
  
  Pensando um pouco, percebemos que, independente do número de palitos que nosso oponente retire, podemos sempre, na jogada seguinte, retirar um número de palitos tal que a soma dessa quantidade com a retirada pelo oponente na jogada anterior some 6. Exemplo: ele tira 1, eu tiro 5; ele tira 3, eu tiro 3 ...
  
  Dessa forma, o jogo avança de 6 em 6 palitos em cada rodada.
  
  Mas 1000 dividido por 6 resulta em 996, deixando resto 4.
  
  Ou seja, retirando inicialmente esse "resto", garantimos, seguindo a estratégia supracitada, que a quantidade a ser retirada seja sempre divisível por 6.
  
  Dessa forma, no início da última rodada, que será iniciada pelo oponente, restarão 6 palitos. Assim, o jogo está ganho!
• Mas o enunciado diz o último palito, no singular, então a pessoa que formulasse a estratégia só ganharia se o oponente retirasse 5 palitos e deixasse 1. Eu pediria anulação dessa questão. Hã...
• Eu errei essa questão e depois resolvi fazer o seguinte teste: diminuir meu campo de 1000 palitos para 10. Dessa forma eu conseguiria visualizar melhor a tal estratégia comentada pelos companheiros acima. De 10 palitos, se eu começar tirando 5, já perderei de cara. Agora se eu começar tirando 4, eu ganho imediatamente pois meu parceiro não terá mais opções - qualquer quantidade de palitos que ele retirar, considerando que ele só pode tirar no máximo 5, sobrará uma quantidade de palitos que eu, em apenas uma jogada, poderei retirar e ganhar o jogo. Só assim consegui entender a questão... não encontrei outra lógica. Espero que entendam agora! Abraços!
• Entender como resolver a questão, eu entendi. Mas é o enunciado que eu considerado equivocado. Se há em cima de uma mesa 1 (um) palito, eu posso dizer "O último palito está em cima da mesa". Contudo, se há cinco palitos em cima de uma mesa e eu disser "O último palito está em cima da mesa", o interlocutor vai me questionar imediatamente: São cinco palitos que estão em cima da mesa. Como assim, "o último está em cima da mesa?".
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  Na situação apresentada, "o último" significa o último mesmo, ou seja, 999 palitos estiveram na pilha e agora não estão mais.
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  Se eu tivesse feito esse concurso e errado essa questão, eu iria redigir um pedido imenso de anulação com base em diversos argumentos. Procuraria trechos em livros, jornais, dicionários, etc. Hã...
• Para assegurar a vitoria 'e necessario que, na ultima jogada do seu adversario,  restem o numero maximo permitido de palitos a ser retirado + 1 (ou seja, 6). Desta forma, independentemente do numero de palitos que ele retire, sempre restara ao menos 1 palito para voce retirar e ganhar o jogo. Para isso acontecer, basta iniciar o jogo com o numero de palitos igual ao resto da divisao entre o numero da pilha inicial por 6. Como nessa questao a pilha inicial era de 1000, o inicial deveria ser 4 (1000/6 = 166 com resto 4). Se a pilha inicial fosse 20,  o jogador que começa deveria retirar a quantidade  2 palitos (20/6 = 3 com resto 2)...
• Olhem este link:
  http://www.ime.usp.br/~trodrigo/documentos/mat450/mat450-2001242-seminario-2-jogo_do_nim.pdf
  
  O primeiro problema, o jogo do Nim, um jogo chinês, é muito parecido com este problema.
  O artigo é bem didático, vale muito a pena conferir.
  Se o máximo que posso tirar de palitos é 5, e no final sobra 1, logo havia 6 palitos sobrando.
  A quantidade máxima de palitos é 1000, e vou dividir por 6 (quantos grupos de 6 palitos terei?). Assim, terei 166 grupos de 6 palitos e sobrarão 4 palitos.
  1000 / 6 = 166 com resto 4
  
  Logo, a resposta seria 4.
  :-S
• A resposta da Roberta foi excelente. Quando nos deparamos com uma questão de raciocínio lógico, temos que ter um pouquinho de paciência, pois a lógica está sempre lá... só precisamos desembaraçar nossa mente.
  Só vou colocar o raciocínio passo a passo a fim de garantir que todos compreendam:
  
  I. Para que eu assegure a retirada do último palito, preciso controlar TODAS as jogadas até o final do jogo. Desta forma, qual o único número que eu posso assegurar obter em TODAS as rodadas, independentemente da jogada do meu oponente?;
  
  II. O único número que eu posso obter em absolutamente todas as rodadas, tendo meu adversário retirado 1, 2, 3, 4 ou 5 palitos, é 6;
  
  III. Agora eu preciso descobrir quantos ciclos de 6 cabem em 1000. 1000 / 6 = 166,666;
  
  IV. Ou seja, no Universo amostral de 1000 palitos, cabem 166 ciclos de 6 palitos e mais alguns (x):
  
  V. Dito de outra forma, (166x6) + x = 1000
  
  (166x6) + x = 1000
  996 + x = 1000
  x = 1000 - 996
  x = 4
  
  Desta forma, para que eu tenha todos os ciclos de 6 controlados, garantindo que o último palito seja por mim retirado, preciso retirar essa "sobra" de 4 palitos na primeira rodada.
  
  Espero ter ajudado a tornar mais claro. :)
• Definitivamente eu preciso de ajuda, pois entendi como fazer a questão, porém não aceito que a resposta correta seja 4, mas sim 3.
  
  Vejamos..são 1000 palitos....
  
  Dividindo esta quantidade por 6, obtido atraves da soma do numero maximo de retiradas (5) com ultimo palito (1)....
  
  ...Obteremos a solução de 166 grupos iguais de 6 retiradas e um grupo de 4. Deste grupo de 4 retira-se o correspondente ultimo palito, ficando 3.
  
  Logo a resposta deveria ser 3 e não 4. Alguem concorda ???
• 1000 PALITOS.
  
  1º JOGADOR   = (PODE TIRAR 5 PALITOS).
  
  2º JOGADOR    = (PODE TIRAR 5 PALITOS).
  
  NAS DUAS JOGADAS, OS 2 ,JUNTOS, TIRAM NO MÁXIMO 10 PALITOS.
  
  TRABALHAR COM 10 PALITOS É O MESMO QUE TRABALHAR COM 1000 ( 10X10=100, 100X100=1000),POIS É SEMPRE UM MÚLTIPLO DE 10.
  
  AGORA VAMOS RESOLVER, TRABALHANDO COM 10 PALITOS, VEZ QUE FICA MAIS FÁCIL DO QUE TRABALHAR COM 1000.
  
  

  10 PALITOS
  1º JOGADOR	2º JOGADOR	1º JOGADOR
  TIROU   5	TIROU OS 5 PALITOS RESTANTES	NÃO SOBRA NADA
  TIROU   4	ELE PODE TIRAR NO MÁXIMO 5	SOBRA  1 PALITO (RESPOSTA CERTA, ÚLTIMO PALITO)
  TIROU   3	ELE PODE TIRAR NO MÁXIMO 5	SOBRAM 2 PALITOS (NÃO É O ÚLTIMO)
  TIROU  2	ELE PODE TIRAR NO MÁXIMO 5	SOBRAM 3 PALITOS (NÃO É O ÚLTIMO)
  TIROU  1	ELE PODE TIRAR NO MÁXIMO 5	SOBRAM 4 PALITOS (NÃO É O ÚLTIMO)

   
  OU SEJA, TEMOS QUE SUPOR QUE O 2º SEMPRE TIRA O MÁXIMO (5 PALITOS), POIS QUEREMOS SABER QUANDO É QUE O JOGADOR QUE COMEÇAR VAI FICAR COM O ÚLTIMO.
   
  SALIENTANDO QUE É MUITO MAIS FÁCIL TRABALHAR COM 10 PALITOS.
• O problema da questão é que ela não especifica se na última rodada do jogo só pode haver um palito. Se você olhar pra tabela do comentário acima, vai perceber que qualquer valor que não for o máximo, faria o primeiro jogador tirar o último palito. Questão mal formulada na minha opinião.
• Errei a resposta, mas entendo que a questão está formulada corretamente, pois para retirar o último palito na última rodada, tanto pode ser feito retirando um único palito, quanto 5 palitos, pois a ação de retirar os palitos é impossível de ser instantânea para todos os palitos. Haverá, portanto, sempre um "último palito sendo retirado" para o jogador que tiver até cinco palitos à sua disposição na última rodada.

• Funciona assim:

  A soma das jogadas dos 2 jogadores pode dar de 2 a 10, mas a única forma de eu garantir que a soma de minha jogada com a do outro jogador sempre seguirá a mesma regra é adotando o soma 5 ou 10, pois Nós estamos limitados a retirar de 1 a 5 palitos ( Se jogador B tira 1 palito eu completo com 4 , já no extremo oposto, se ele retirar 5 eu completo com 5).

  Entendido essa tática, vamos analisar o que acontece se eu começar com 1 a 5 palitos:

  A1=>PRIMEIRA JOGADA JOGADOR A

  A3= A1+ 5 ( garanto que a soma da jogada de B com A= 5)

  Observe que A3= A1+ 1 jogada dando soma 5( considero conjunto de jogada de A e B para dar a soma)

  Então A3= A1+ (3-1)/2*5 = A1+5

  Veja que a sequencia é a seguinte: A1, A3,A5, A7....

  Então

  A397= A1+ (397-1)/2*5= A1 + 990

  Iniciando com 1->

  A1 --B2--A3 ....A397--B398--A399--B400

  1 --? -- 5+1 ..990+1 --? -- 995+1 -- 1000

  B ganharia, pois a penúltima jogada de A ( A397= 991) ele não consegue completar pois falta 9 e na última jogada (A399= 996) ele não consegue completar pois falta 4 palitos e como ele tem no máximo 5, e já usou 1 não posso garantir que terá os 4.

  Iniciando com 2->

  A1 --B2--A3 ....A397--B398--A399--B400

  2 --? -- 5+2 ..990+2 --? -- 995+2 -- 1000

  B ganharia, pois a penúltima jogada de A ( A397= 992) ele não consegue completar pois falta 7 e na última jogada (A399= 997) ele não consegue completar pois falta 3 palitos e como ele tem no máximo 5, B poderia ter forçado ele a usar mais de 3 palitos para dar a soma e assim, não teria 3 palitos extras.

  Iniciando com 3-> A1 --B2--A3 ....A397--B398--A399--B400

  1 --? -- 5+3 ..990+3 --? -- 995+3 -- 1000

  B ganharia, pois a penúltima jogada de A ( A397= 993) ele não consegue completar pois falta 7 e na última jogada (A399= 998) ele não consegue completar pois falta 2 palitos e como ele tem no máximo 5, B poderia ter forçado ele a usar 4 palitos para dar a soma, assim, não teria 2 palitos extras.

  Iniciando com 4->

  A1 --B2--A3 ....A397--B398--A399--B400

  4 --? -- 5+4 ...990+4 --? -- 995+4 -- 1000

  A ganharia, pois a penúltima jogada de A A397= 994) ele não consegue completar pois falta 6, assim B também não completará na jogada B398, e na última jogada (A399 = 999) ele consegue completar pois falta 1 palito e como B precisou colocar pelo menos 1 palito na jogada B398, garanto a soma 5, colocando apenas um palito e fico com 1 extra para ganhar.

  Iniciando com 5->

  A1 --B2--A3 ....A397--B398--A399--B400

  5 --? -- 5+5 ....990+5 --? -- 995+5 -- 1000

  B ganharia, pois a penúltima jogada de A A397= 995, B já ganharia na próxima colocando 5 palitos.

  Espero ter ajudado!

• Obrigada Roberta!