Questão Q1793

Question

Quantos são os inteiros compreendidos entre 1 e 1000 inclusive, que são divisíveis por exatamente dois dos números 2, 3, 7 e 10? E por pelos menos dois dos números 2, 3, 7 e 10?

Answer

Como resolver essa questão de uma maneira rápida?

Answer

Segue um diagrama de Venn com a solução da questão.

Explicação:

O primeiro detalhe a se notar é que o conjunto dos múltiplos de 10 está totalmente contido no conjunto dos múltiplos de 2. Por isso o diagrama se apresenta desta forma.

A maneira mais fácil de preencher o diagrama é começando da região mais central (que contém o múltiplo de todos), para as mais afastadas. Vamos lá:

1) 3,7 e 10 são múltiplos de 3 * 7 * 10 = 210 (note que todo múltiplo de 10, já é de 2, por isso não precisa multiplicar por 2 novamente)

Portanto temos 1000/210 = 4 múltiplos

2) Os múltiplos de 3 e 10 ( 3 * 10 = 30 )

1000/30 = 33 múltiplos. Como temos 4 múltiplos que já são múltiplos de 3, 7 e 10, fica 33 - 4 = *29 múltiplos* de 3 e 10 que não são múltiplos de 7

3) Os múltiplos de 7 e 10 (7 * 10 = 70)

1000/70 = 14. Novamente, subtraindo 4 da interseção: 14 - 4 = 10 múltiplos de 2 e 7 que não são múltiplos de 3.

Seguindo este raciocínio, resulta no diagrama de Venn anterior. Para saber a resposta de pelo menos dois múltiplos, é só somar todas as regiões, que dá 295. Para saber a resposta de exatamente dois múltiplos, é só somar as regiões onde somente dois múltiplos aparecem: 57 + 114 + 24 + 38 = 233.

Seguindo este raciocínio e usando o diagrama de Venn é mais difícil se atrapalhar com as contas.

Fonte: http://br.groups.yahoo.com/group/timasters/message/25609

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