Questão 540403

• Banca: CESGRANRIO
• Órgão: Transpetro
• Ano: 2011
• Provas: CESGRANRIO - 2011 - Transpetro - Engenheiro Júnior - Elétrica
• Disciplina: Engenharia Eletrônica
• Assuntos: Função de Transferência; Sistemas de Controle

O polinômio do denominador da função de transferência de um sistema em malha fechada é dado por

s³ + 12 s² + 44 s + 48 + K.

Variando positivamente o valor de K até o sistema entrar em oscilação pura (limiar da instabilidade), o valor da frequência de oscilação, em rad/s, é

• A. √12
• B. √44
• C. √48
• D. √52
• E. √87

Gabarito: B

Comentários

• B*: raiz quadrada (44)

• Não entendi. Alguém poderia explicar-me?

  
  

• Olá, Fábio!

   

  Inicialmente, vc utiliza o critério de estabilidade de Routh:

   

  s3   1     44

  s2   12   48+k

  s1   [12*44 - (48+k)]/12

  s0   48+k

   

  Para o caso de limiar da instabilidade, temos  [12*44 - (48+k)]/12 = 0. O que nos da k=480.

   

  Substituindo k na FTMF:

   

  s³ + 12 s² + 44 s + 48 + K = 0

  s³ + 12 s² + 44 s + 48 + 480 = 0

  s³ + 12 s² + 44 s + 528 = 0

  s³ + 12 s² + 44 s = -528

   

  fazemos agora s = jw 

  (jw)³ + 12 (jw)² + 44 (jw) = -528

  -jw³ - 12 w² + 44 jw = -528

  -jw³ - 12 w² + 44 jw = -528

   - 12 w² + j(44w-w³) = -528

   

  igualando as partes reais dos dois lados da equação:

   

   - 12 w² = -528

    w² = 44

  w = raiz(44) rad/s

• Obrigado Priscila!

• v = Raiz quadrada?

• Um módo mais prático de resolver é sim utilizando o teorema de Routh, porém é possivel ainda extrair funções auxiliares:

   

  s³   1     44        ->  F(s)

  s²   12   48+k

   

   F(s) = s³   +  44s

   

  Para que o sistema seja estável F(s) deve ser positiva e, limiar da instabilidade igual a zero, logo:

   

  s³   +  44s = 0

  s²   =  - 44

  s = j√44

  Subistituindo s por jw:

   

  w = j√44

   

  Letra b)