Alternativa B - Justificativa:
Na função, o coeficiente "a" (que multiplica x2) é igual a 2 (maior do que zero), então essa função admite um ponto de mínimo. Precisamos encontrar o menor y que a função pode assumir.
Existem dois caminhos para isso, vou mostrar um deles, que é encontrar a média das soluções (funciona para toda a função ax2 + bx + c = y).
Vamos dividir toda a função por 2 (por causa do coeficiente a), assim fica mais fácil trabalhar:
y = x2 - 90x + 4500
Usando a famosa fórmula de Bhaskara, temos, primeiramente o cálculo do delta:
b^2 - 4.a.c. = 8100 - 4.1.4500 < 0 com delta menor do que zero não há zero real, ou seja, a função não intercepta o eixo-x.
O que nos leva ao segundo método. Precisamos saber qual é a função DERIVADA de x2 - 90x + 4500. Fiquem tranks: o conceito de derivada não precisa para a sua prova, mas use o seguinte macete:
1) multiplique a por 2 e corte o expoente de x2
2) corte o x que multiplica por b
3) corte o termo independente.
Ou seja: a derivada será: f(x) = 2ax + b.
Então f(x) = 2x - 90.
Faça f(x) = 0 = 2x - 90 -> x = 45.
Agora, substitua x = 45 na função primitiva (original):
y = 45^2 - 90.45 + 4500
y = 2475
Mas lembra que você dividiu toda a função por 2 para simplificar o cálculo?
Agora você precisa multiplicar 2475 por 2 para ter o valor real: 2475 x 2 = 4950.
Assim, y sempre será maior ou igual a 4950.
Prof. Renato Rivero, Msc.
Mestre em Ensino de Matemática.
Para fazer contas:
• o menor valor que x pode assumir numa parábola é dado pela fórmula (-b)/2a
• o menor valor que y pode assumir numa parábola é dado pela fórmula (-Δ)/4a
Já que o que nos interessa é y, então:
Δ = b²-4ac = (-180)²-4(2)(9000) = 32400-72000 = -39600
y = (-(-39600))/4(2) = 39600/8 = 4950
Mas dá pra resolver sem fazer cálculos, simplesmente analisando as alternativas:
(A) ℝ. - IMPOSSÍVEL. O gráfico de uma função ax²+bx+c é uma parábola: ele vai até um ponto e retorna. Ou seja, há infinitos valores acima ou abaixo do gráfico que não fazem parte da imagem. A função em questão é positiva (a positivo), isso desenha uma parábola virada para cima. Então, teremos infinitos valores abaixo do y mínimo que não fazem parte da solução.
(B) {y ∈ ℝ, y ≥ 4950}. - GABARITO
(C) {y ∈ ℝ, y ≥ 9000}. - IMPOSSÍVEL. Para x=1, y= 9000+2-180(sem fazer conta); ou seja: já temos aí um valor inferior a 9000.
(D) {y ∈ ℝ, y < 4950}. - IMPOSSÍVEL. O gráfico de uma função ax²+bx+c não tem pontos abertos, portanto o valor de y TEM QUE pertencer ao conjunto solução. Isso quer dizer que hipoteticamente até poderia ser ≤, mas NUNCA simplesmente apenas <.
(E) {x ∈ ℝ, x ≥ 4500}. - IMPOSSÍVEL. A imagem de uma função f(x) é representada por y, não x.
Quanta firula desses comentários aí, galera... Só sigam esse bizu aqui que não tem erro, confia:
Para encontrar a imagem da função do segundo grau:
*Quando a concavidade da parábola for voltada para cima, a imagem é maior ou igual ao “Y” do vértice;
*Quando a concavidade da parábola for voltada para baixo, a imagem é menor ou igual ao “Y” do vértice.