Questão 5469295

• Banca: Método Soluções Educacionais
• Órgão: Prefeitura de Arenápolis - MT
• Ano: 2019
• Provas: Método Soluções Educacionais - 2019 - Prefeitura de Arenápolis - MT - Técnico em Enfermagem
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Álgebra; Equações Biquadradas e Equações Irracionais

Temos que a e b são raízes distintas da equação 2. 4^x + 4² = 3 . 2^x+2 . Então, a⁵ + b⁵ é igual a:

• A. 33;
• B. 45;
• C. 57;
• D. 64.

Gabarito: A

Comentários

• O valor de a⁵ + b⁵ é 33.

  Primeiramente, vamos relembrar algumas propriedades de potenciação:

  • xᵃ⁺ᵇ = xᵃ.xᵇ (multiplicação de potências de bases iguais)
  • (xᵃ)ᵇ = (xᵇ)ᵃ

  Com isso, vamos reescrever a equação exponencial 2.4ˣ + 4² = 3.2ˣ⁺² da seguinte maneira:

  2.(2²)ˣ + 16 = 3.2ˣ.2²

  2.(2ˣ)² + 16 = 2ˣ.12

  2.(2ˣ)² - 12.2ˣ + 16 = 0.

  Fazendo a substituição y = 2ˣ, obtemos a seguinte equação do segundo grau:

  2y² - 12y + 16 = 0

  y² - 6y + 8 = 0.

  Utilizando a fórmula de Bhaskara, obtemos:

  Δ = (-6)² - 4.1.8

  Δ = 36 - 32

  Δ = 4

  .

  Assim,

  Se y = 4, então 2ˣ = 4 ∴ x = 2;

  Se y = 2, então 2ˣ = 2 ∴ x = 1.

  Podemos considerar que a = 1 e b = 2.

  Logo, o valor de a⁵ + b⁵ é:

  a⁵ + b⁵ = 1⁵ + 2⁵

  a⁵ + b⁵ = 1 + 32

  a⁵ + b⁵ = 33.

  FONTE: BRAILYN