Questão 550063

• Banca: CESGRANRIO
• Órgão: Petrobras
• Ano: 2011
• Provas: CESGRANRIO - 2011 - Petrobrás - Técnico de Segurança do Trabalho
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Função Logarítmica; Funções

Sendo a função f(x) = 2. log₅(^3x⁄₄)  , em que x é um número real positivo, f(17) é um número real compreendido entre

• A. 1 e 2
• B. 2 e 3
• C. 3 e 4
• D. 4 e 5
• E. 5 e 6

Gabarito: C

Comentários

• 
  
  f(x) = 2.log₅(3x/4)  para podermos trabalhar emos que deixar tudo na mesma base. Vamos passar para a base 10:
  
  f(x) = 2.[log₁₀(3x/4)/log₁₀5] (I)
  
   temos que: 
  
  log₁₀5 = 0,69897 (aproximadamente) 
  
  Substituindo em (I) temos:
  
  f(x) = 2.[log₁₀(3x/4)/0,69897
  
  Agora, vamos substituir o "x" por "17", para saber  f(17). Assim: 
  
  f(17) = 2.[log₁₀(3*17/4) / 0,69897
  
  f(17) = 2.[log₁₀(51/4) / 0,69897
  
  f(17) = 2.[log₁₀12,75]/0,69897
  
   temos que: 
  
  log₁₀12,75 = 1,105510 . Então a nossa expressão acima ficará: 
  
  f(17) = 2.(1,105510/0,69897)  (II)
  
  veja que 1,105510/0,68987 = 1,58163. Substituindo em (II) temos:
  
  f(17) = 2*1,58163 
  
  
  f(17) = 3,16326 
  A resposta fica entre 3 e 4.
• f(x) = 2. log₅(^3x⁄₄)
  f(17) = 2. log₅(^3.17⁄₄)
  f(17) = 2.log ₅(⁵¹⁄₄)
  f(17) = log ₅((⁵¹⁄₄))^2
  x = log ₅((⁵¹⁄₄))^2
  5^x = ((⁵¹⁄₄))^2    (dividindo por 2 o exponente temos...)
  5^(x/2)= 51/4
  
  5^(x/2) = 12,75   (Precisamos encontrar um intervalo de X, que seja próximo de 12,75)
  Para x = 1   5^(1/2) = 2,23 
  Para x = 2   5^(2/2) = 5
  Para x = 3   5^(3/2) = 11,18
  Para x = 4   5^(4/2) = 25
  
  Ou seja X é um número Real positivo, comprrendido entre 3 e 4.
  C.
• Resumindo essa conta. Se não tiver tempo para fazer, não faça e vai no chutômetro! Ficar procurando o X nessa questão com multiplicação em números decimais exige tempo.

• É bem verdade que não precisamos ir até os números decimais numa prova de concurso como esta. Precisamos de tempo...
  Veja que f(17) é:
  
  2log5 3.17/4 = 2log5 51/4
  
  => log5 (12,75)^2
  
  => 5^x = (12,75)^2 (arredonda 12,75 para baixo = 12,0 e para cima = 13,0, ambos ao quadrado)
  
  => 5^x = 144 ou 169 (aí é só achar um valor para x que dê próx. a estes resultados)
  
  => 5^3 = 125     e     5^4 = 625
  Conclusão, a resposta é " um número real entre 3 e 4". Podes crer!
  
  
  
  
  
   

• Uma forma simplificada de resolver:

  2 log5(3x/4)

  = log5 (3x/4)^2

  = log5 (9x^2/16)

  = log5 (9*17^2/16)

  = log5 162,56---------> que é a mesma coisa que 5^x=162,56

  
  

  Se 5^3=125 e 5^4=625, então x está entre 3 e 4

  
  

• Resolvendo:

                                       
  

  Letra C

• 2log 5^(3x/4)

  log5^(3x/4)^2

  log5^(3.17/4)^2

  log5^(51/4)^2

  log5^(12,75)^2

  log5^162,56

  5^x = 162,56

  5^3 = 125 e 5^4 = 625