Fala pessoal! Professor Jetro Coutinho na área, para
comentar esta questão sobre Teoria do Consumidor.
Esta questão apresenta mais conceitos de matemática do que de Economia em algumas alternativas! Mas bora lá!
A) Errada. A preferência para cestas diversificadas vem da premissa da convexidade e não da transitividade. A transitividade decorre do fato de que se o consumidor prefere a cesta X à Y e Y à Z, ele também prefere X à Z.
B) Certa. A função utilidade de bens substitutos perfeitos tem o formato aX + bY. Um exemplo seria a função x + 3Y.
Apesar da apresentação diferente, a função utilidade dada pela alternativa possui o mesmo formato, sendo apenas uma transformação monotônica de aX + bY.
Vale lembrar que transformação monotônica é um modo de transformar um conjunto de números em outro, mas preservando a ordem original dos números.
Dessa forma, aX + bY representa substitutos perfeitos.
Se pegarmos essa função e a elevarmos ao quadrado, teremos: (ax + bY)2, que também representa uma função utilidade de bens substitutos perfeitos, pois apenas fizemos a transformação monotônica da função original. Neste caso, a transformação foi elevar a função original ao quadrado.
Já vimos que x + 3Y representa substitutos perfeitos. Pois bem, no caso desta alternativa, a função utilidade x2 + 6xY + 9y2 é o produto notável de (x +3y)2.
Se fizermos o produto notável, chegaremos à função da alternativa.
Vamos pegar a função (x +3y)2. Extraindo o produto notável (primeiro termo ao quadrado, mais duas vezes o primeiro vezes o segundo,
mais o quadrado do segundo):
X2 + 2.x.3y + (3y)2.
Assim:
X2 + 6xy + 9y2
Ou seja:
x2 + 6xY + 9y2 = (x +3y)2.
Portanto, a função x + 3y representa uma função para substitutos perfeitos. Se pegarmos essa função e elevarmos o quadrado chegaremos à função (x +3y)2, que também representará substitutos perfeitos, pois é transformação monotônica da primeira.
C) Errada. A função utilidade dada pelo enunciado uA(x,y) = x1/2y1/2 é uma função Cobb-Douglas.
Podemos reescrever essa função Cobb-Douglas sob a forma de logaritmo. Extraindo o logaritmo natural, a função Cobb-Douglas acima teria o seguinte formato:
U = 0,5lnx + 0,5lny
Essas duas funções utilidades são equivalentes. Assim:
U = x1/2y1/2 = 0,5lnx + 0,5lny
Como essas duas funções são equivalentes, elas apresentam cestas de consumo idênticas, já que suas funções utilidades também são idênticas.
Esta alternativa compara duas funções utilidades: a função utilidade de Antônio (x1/2y1/2) e a função utilidade de Beatriz (0,5ln x + ln y + 150).
Para que as cestas de Antônio e Beatriz sejam idênticas, é necessário que suas funções utilidades sejam idênticas.
No entanto, já vimos que a função de Antônio é uma função Cobb-Douglas e que sua equivalente sob a forma de logaritmo natural é U = 0,5lnx + 0,5lny.
Assim, a função logaritmo equivalente à de Antônio é U = 0,5lnx + 0,5lny, mas a função de Beatriz é
uB(x,y) = 0,5ln x + ln y + 150.
Como a função de Beatriz é diferente da de Antônio, eles não terão cestas idênticas.
D) Errada. Como Carla consome manteiga com pão, esses bens são de consumo associado. Ou seja, a preferência de Carla pelos bens é de complementares perfeitos.
E) Errada. Se Pedro tem preferências estritamente convexas, isto significa que entre duas cestas em que ele é indiferente ele preferirá a média das duas cestas.
Assim, como Pedro é indiferente entre A (4,6) e B (12,2), precisamos calcular uma cesta média. E Pedro preferirá esta cesta média do que as cestas A e B.
Na cesta A, temos 4 unidades de X e 6 de Y.
Na cesta B, temos 12 unidades de X e 2 de Y.
Tirando a média das quantidades de X, teremos:
(4 + 12)/2 = 16/2 = 8
Agora, vamos tirar a média das quantidades de Y:
(6+2)/2 = 8/2 = 4
Portanto, uma cesta média seria formada por 8 quantidades de X e 4 unidades de Y, formando assim a cesta (8,4).
Como as preferências de Pedro são estritamente convexas, ele prefere a cesta média (8,4) do que as outras cestas. Portanto, ele não é indiferente à cesta (8,4). Pelo contrário, Pedro a PREFERE.
Gabarito do Professor: Letra B.