Sabendo que a soma de todos os presentes é igual a 306, fui fazendo de um em um os funcionários se presentenando, de forma que:
1 func. = 1 presente
2 func. = 2 presentes
3 func. = 6 presentes
4 func. =12 presentes
5 func. = 20 presentes
...
16 func. = 240 presentes
17 func. = 272 presentes
18 func. = 306 presentes.
Perceba que a partir de 2 funcionários, a numeração de presentes cresce sempre +2 em relação ao anterior. Ou seja, +4, +6, +8, até que a soma chega em 306, que é quando se tem 18 funcionários trocando presentes entre si.
Como ele quer a soma dos algarismos do número de funcionários, que são 18, então 1+8 = 9. Fim.
Acredito que deva haver algum método mais fácil e rápido pra resolver, tipo por P.A. (fórmula: an=a1+(n-1).r ) ou por soma de PA (fórmula: Sn=(a1+an).n/2 ), mas não consegui visualizar. Se alguém souber, por favor, poste a resolução. Obrigado.
GABARITO: B
➥ Pessoal, nestas questões da VUNESP, eu sempre tento pensar em um número menor de funcionários e, a partir disso, tento descobrir o total de presentes.
Se a lógica funcionar para o meu exemplo menor, funcionará para o maior também (o do exercício). Um exemplo:
Vamos supor que a gente tenha 4 funcionários na empresa. Se a lógica é: "cada funcionário deveria levar um presente para cada um dos outros funcionários", vamos pensar em você: Se você fizesse parte desses 4, quantos presentes você levaria para os outros funcionários? Você daria 1 presente para cada uma das 3 pessoas, certo? Você não presentearia a sim mesmo, portanto levaria 3 presentes.
Mas isso se repetirá com os outros três funcionários também, logo, se cada um levará 3 presentes e temos 4 pessoas, teremos 12 presentes ao todo (3 x 4).
➥ Veja que o número de presentes ao todo é a mesma coisa de eu multiplicar o número de funcionários (4) pelo número de funcionários menos um (3) → 4 x 3 = 12.
Agora que temos este esqueminha na cabeça (nº de presentes = nº de funcionários x [nº de funcionários - 1]), podemos resolver o exercício.
- Total de func.: X.
- Regra: cada funcionário deveria levar um presente para cada um dos outros funcionários da empresa.
- Total de presentes: 306.
➥ Pela "fórmula" que bolamos:
nº de funcionários x [nº de funcionários - 1] = nº de presentes
X x (X-1) = 306
Distributiva:
x² - x = 306
x² - x - 306 = 0
Em que:
Bhaskara:
Δ = b² - 4ac
Δ = (-1)² - 4.1.(-306)
Δ = 1 + 1224
Δ = 1225
x = -b +- √Δ / 2a
x = -(-1) +- √1225/ 2.1
➥ Vamos pensar para descobrir a raiz quadrada: Um número que multiplicado por ele mesmo dê 1.225. É um número entre 30 e 40, certo? Por quê? 30 x 30 = 900 (falta para chegar a 1225) e 40 x 40 = 1600 (passou de 1225).
1225 é um número que está entre 900 e 1600, logo a raiz estará entre 30 e 40.
➥ Agora, pense: Quais números (de 0 a 9) possuem 5 ao final quando multiplicados por eles mesmos (1225)? Apenas o 5 (5 x 5 = 25). Então o número será 35.
Vamos testar: 35 x 35 = 1225. Bateu, logo a raiz de 1225 é 35.
Continuando:
x = -(-1) +- √1225/ 2.1
x = 1 +- 35/ 2
➥ Usar + ou - (+-)? +, pois, se utilizássemos menos ( - ), o resultado, ao final, daria negativo ([1-35]/2 → -34/2 → -17). Como queremos descobrir a medida de X, que é o número de funcionários, o resultado negativo não serviria, já que não existem -17 funcionários rsrs.
Portanto:
x = 1 + 35 / 2
x = 36 / 2 (para dividir por 2, multiplique o numerador e o denominador por 5, para cortar rapidamente o 0 com o 10)
x = 34 x 5 / 2 x 5
x = 180 / 10
x = 18 (Como tenho certeza de que é 18? Jogue na fórmula e teste: x.[x-1] = 306)
➥ O examinador pediu: "um número cuja soma de seus algarismos resulta em..." → 1 + 8 = 9.
➥ Para treinar com outra semelhante: Q1086241 (VUNESP/PauliPrev/2018)
Espero ter ajudado.
Bons estudos! :)