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f(x) = 9/x^2 - 2x + 1
fazendo f(g(x)), temos f(g(x)) = x^2
logo, f(x) = 9/(x-1)^2 < 10/(x-1)^2
gab.: certo.
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Bom, acredito que podemos resolver essa questão da seguinte forma:
Função composta:
f(gx) = x²
f(gx) = [ (x+3)/x ]²
f(gx) = (x+3)/x . (x+3)/x
f(gx) = (x² +6x + 9)/x²
ƒ(x) < 10 /(x − 1)
(x² +6x + 9)/x² < 10 / (x² -2x +1)
se x = 2, temos (escolha aleatória)
4+ 12+9/4 < 10/4 - 4 +1
25/4 < 10/1
6,25 < 10
GAB. C
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Vamos lá:
- g(x) = x+3/x
- fog(x) = f[g(x)] ==> f[g(x)] = x^2
Vamos manipular a primeira função da seguinte maneira:
g(x) = x+3/x ==> g(x) * x = x+3 ==> g(x) * x - x = 3 ==> x*[g(x) -1] = 3
Observe que coloquei a variável para o primeiro membro e depois coloquei-a em evidência. Dessa forma:
f[g(x)] = x^2 ==> f(x) =( 3/[g(x) - 1])^2
f(x) = 9/ [g(x) - 1]^2
Agora comparando com a função f(x) que a questão nos deu, vamos verificar se é uma afirmação verdadeira
f(x) = 9/ [g(x) - 1)^2 e f(x) = 10/ [g(x) - 1)^2
Como os denominadores são iguais, precisamos comparar os numeradores normalmente. Assim, verificamos que f(x) realmente é menor que 10/ [g(x) - 1)^2 dada na questão.
Gabarito: CERTO
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f(g(x)) = x²
f(x) < 10 / (x-1)²
g(x) = (x+3) / x
substituindo g(x) no lugar de x em f(x), temos:
f(g(x)) < 10 / ([(x+3) / x] - 1)²
substituindo f(g(x)) por x², temos
x² < 10 / ([(x+3) / x] - 1)²
Substitua qualquer valor aleatório em x e verá que a inequação está correta.
para x=1: 1 < 10 / 9
para x=2: 4 < 10 / 2,25
para x=3: 9 < 10 / 1
para x=4: 16< 17,77...