|x|^3 – 6∙|x|^2 + 5∙|x| = 0
Resolução:
Da propriedade dos módulos temos: |x|^3 = |x^3| = x^3. A mesma ideia vale |x|^2 e |x|. Substituindo na equação, temos
x^3 - 6x^2 + 5x = 0
x(x^2 - 6x + 5) = 0
(x^2 - 6x + 5) = 0 / x
(x^2 - 6x + 5) = 0
Vamos achar as raízes (pode fazer tanto pode baskara, quanto por soma e produto)
Soma = x' + x" = -(b / a)
produto = x'. x" = c / a
Quem é a, b, c da equação ? a = 1; b = -6; c = 5. Então
-(b / a) = - (-6 / 1) = 6
c / a = 5 / 1 = 5
voltando para a soma e produto. Na soma, vamos encontrar dois valores que somado dá 6
Soma = x' + x" = 6
Soma = 1 + 5 = 6
Os dois valores que soma dá 6, ao serem multiplicados tem que dá o valor do produto que é 5
produto = x'. x" = 5
produto = 1.5 = 5
Logo, 1 e 5 são as raízes da equação. Agora vamos nos atentar ao módulo. Sabemos que o módulo de um número, seja ele positivo ou negativo, será sempre positivo.
Exemplo:
|x| para x = 2
|2| = 2
|x| para x = -2
|-2| = - (-2) = 2
Dito isso, o módulo de uma variável (x, y, z, a, b,...), considerando que essa variável pode ser tanto positivo quanto negativo, será sempre positivo. Logo, no caso das raízes (1 e 5), vocês tem que considerar x = 1, x = -1, x = 5, x = -5, pois eles garantirão a igualdade (igual a zero).
Exemplo
x=1
|1|^3 – 6∙|1|^2 + 5∙|1| = 0
1^3 – 6∙1^2 + 5∙1 = 0
1 - 6 + 5 = 0
x = -1
|-1|^3 – 6∙|-1|^2 + 5∙|-1| = 0
-(-1)^3 – 6∙ (-(-1))^2 + 5∙1 = 0
-(-1) – 6∙ (1)^2 + 5∙1 = 0
1 - 6 + 5 = 0
se alguém tiver dúvida quanto ao (-(-1))^2, lembre-se que temos uma multiplicação dentro do parênteses entre -(-1). Então resolve o que tá dentro do parênteses pra depois elevar ao quadrado.
Outra coisa: um quinto valor que pode garantir essa igualdade, é o x = 0. Então considerem esse valor também.