Questão 5558848

• Banca: CESPE / CEBRASPE
• Órgão: SEDUC-AL
• Ano: 2021
• Provas: CESPE / CEBRASPE - 2021 - SEDUC-AL - Professor - Matemática
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Álgebra Linear; Matrizes

Com relação a matrizes e sistemas lineares, julgue o item a seguir.

Considere que A seja uma matriz quadrada de dimensão 2, que I₂ seja a matriz identidade, também de dimensão 2, e que x ∈ ℝ. Nesse caso, o determinante da matriz det(A − xI₂ ) = x² − tr(A)x + det(A). 

• C. Certo
• E. Errado

Gabarito: C

Comentários

• A := Matrix(2, 2, [[a, b], [c, d]])

  M:= Matrix(2, 2, [[1, 0], [0, 1]])

  Determinant(-M*x + A) = x^2 - A^%T*x + Determinant(A) EQ.(1)

  Resolvendo a EQ.(1) obtemos,

  a*d - a*x - b*c - d*x + x^2 = x^2 + a*d - b*c + Matrix(2, 2, [[-a*x, -x*c], [-x*b, -x*d]]) EQ.(2)

  Simplificando a EQ.(2) temos:

  -a*x - d*x = Matrix(2, 2, [[-a*x, -x*c], [-x*b, -x*d]]) EQ.(3)

  Não sei realmente o motivo pelo qual a igualdade da Eq.3 pode estar correta!

  A resposta deveria estar errada, não é?

• Basta resolver cada lado da afirmação e verificar se são iguais.

  1)det(A − xI2 )

  seja T = A − xI2 , assumindo A uma matriz com os elementos a b c e d. temos det(T) = (a-x).(d-x) - b.c= .. = ad-xd-ax+x^2-b.c

  2)x^2 − tr(A)x + det(A)

  vamos abrir os termos, lembrando que o tr é o traço da matriz, que é a soma dos elementos da diagonal principal

  x^2-(a+d).x+(a.d-b.c) = ...= x^2-ax-dx+ad-bc

  Portanto, item correto.

• eu fiz uma matriz quadrada 1,2,3,4 atribui x = 1 e testei. Deu -6 para os dois lados.

  Lembrar que Tr(A) é a soma da diagonal principal.

• Demonstração contida no livro "Álgebra Linear" do ANTON, 10ª Ed, pág. 321.