Questão 568918

• Banca: CESGRANRIO
• Órgão: Petrobras
• Ano: 2010
• Provas: CESGRANRIO - 2010 - Petrobras - Engenheiro de Petróleo Júnior
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Álgebra Linear; Álgebra Linear - Equações Lineares, Espaço Vetorial e Transformações Lineares e Matrizes

Uma matriz quadrada A, de ordem 2, é tal que a soma dos elementos de cada linha e de cada coluna é igual a 3. Considere as afirmativas abaixo.

I - (1, 1) é necessariamente um autovetor de A.
II - 3 é necessariamente um autovalor de A.
III - (1, 0) é necessariamente um autovetor de A.

Está correto o que se afirma em

• A. I, apenas.
• B. II, apenas.
• C. III, apenas.
• D. I e II, apenas.
• E. I, II e III.

Gabarito: D

Comentários

• [a,b;c,d]

  a+b=c+d=a+c=b+d=3

  b=c; d=a

  c=3-a

  [a,b;c,d]=[a,3-a;3-a,a]

  det[a-x,3-a;3-a,a-x]=0

  (a-x)^2-(3-a)^2=0

  II) x=3 é necessariamente autovalor, independentemente de a.

  I) [a-x,3-a;3-a,a-x][v1;v2]=0

  V1(a-x)+V2(3-a)=0

  V1(3-a)+V2(a-x)=0

  se x=3; V1=V2 e (1,1) é auto-vetor necessariamente

  III)V1=1; V2=0 somente se a=x=3.