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"Errada"
Calculando o valor de t para o qual P(t) = 30.000, tem-se:
P(t) = 30.000
5.000.e0,18t = 30.000 (substituição da função P(t))
e0,18t = 6 (divisão de 30.000 por 5.000)
ln e0,18t = ln 6
0,18t .ln e = ln 6
0,18t = 1,8 (lembre-se que ln e = 1 e o texto informa que ln 6 = 1,8)
t = 10 anos
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Pode-se usar o expoente que também dá certo.
Faz-se
P(5) = 5.000 . e ^ (0,18*5)
= 5.000 . (e^0.18)^5
= 5.000 . 1,2^5
= 5.000 . 2,488
= 12.440
≠ 30.000
Portanto ERRADA
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Galera, essa questão, na verdade, envolve 3 assuntos: Função exponencial, Função logarítmica e Equação exponencial.
Os dados são:
P(t)=população;
e (é o número de Euler, que equivale a 2,718...)
ln (significa logaritmo natural, mas é o mesmo que log qualquer com base e)
t (tempo em anos. nesse caso, 5 anos, conforme pede o enunciado)
A questão quer saber se em 5 anos a população - P(t) - equivalerá a 30 mil pessoas.
P(t) = 5.000 e^0,18t
30000 = 5000 e^0,18t
30000/5000 = e^0,18t
6 = e^0,18t
(perceba que chegamos a uma equação exponencial, para resolução da qual, precisamos aplicar Log nos dois lados da equação)
log 6 = log e^0,18t ou ln 6 = ln e^0,18t
(galera, quando falar apenas em ln e ou log e, a base desse logaritmo também será e, nesse caso, conforme as propriedades do logaritmo, quando temos a base igual ao logaritmando, podemos cortar os dois e considerar apenas o expoente, o qual deixa de ser expoente e passa a ser um resultado, pois o logaritmo desaparece. Nesse caso, ln e^0,18t = 0,18t.
Continuando de onde paramos:
log 6 = log e^0,18t
1,8 = 0,18t
1,8/0,18 = t
t = 10 anos
(gabarito errado).
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Pode-se resolver essa questão de duas formas:
1) y = 5000 . e^0,18.t (igualando t = 5 e descobrindo o y)
y = 5000 . 1,2^5
(bom... chegamos numa parte que, na hora da prova seria um calculo bem trabalhoso de fazer = 1,2 x 1,2 x 1,2 x 1,2 x x 1,2 = 2,488) ------- y = 5000.2,488 = 12440, portanto errada!
2) Apesar de exigir mais conhecimento, é o jeito menos trabalhoso! (igualando o y = 30000 e descobrindo o t)
30000 = 5000.e^0,18.t
30000/5000 = e^0,18.t --- a questão nos dá o logaritmo natural, lembre-se que ln x = lê-se logaritmo natural de x na base "e" que fica oculta! Portanto, temos o: ln 6 = 1,8 e sabemos o ln e = 1! Vamos lá!
6 = e^0,18.t
ln 6 = ln e^0,18t --- aqui temos um número que eleva o logaritmando "e", portanto podemos coloca-lo para multiplicar o logaritimo)
ln 6 = ln e . 0,18t
1,8 = 1 . 0,18t
t = 10 anos! portanto incorreta!
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Esse professor precisa ter mais didática para explicar. Ele pressupõe que o aluno sabe o conteúdo, ora, se soubesse não estaria buscando como resolver.