Temos Log de (1/27) na base 81, isso significa que o 81 elevado a algum número (que aqui chamaremos de Z), resultará em 1/27. Logo temos que:
81^z = 1/27
Decompomos a expressão e chegamos em:
3^(4z) = 3^(-3)
Lembrando que 81 é a mesma coisa que 3 elevado a 4, que multiplica o z já existente no expoente. Por outro lado temos que 3x3x3=27, para jogarmos o 27 que está em baixo como numerador, elevamos a -1. Nesse caso como temos 3^3, ficará
3^ (-1).(3) = 3^-3.
Se temos a mesma base agora resolvemos a expressão:
4z=-3
z=-3/4
Tendo o valor de Z em mãos, agora substituímos na expressão que contém o X. Nosso Z será o Y requerido.
X ^ y = 8
x ^-3/4=8
Elevando todos os termos à quarta potência, iremos eliminar a divisão por quatro do expoente -3/4. Logo teremos:
x ^ (-3/4)*4 = 8 ^ 4
x ^ (-3) = 8 ^ 4
Se temos x elevado a um expoente negativo, para deixarmos positivo retornamos o X à fração:
1/x ^ 3 = 8 ^ 4
Agora colocamos todos os termos em raiz cúbica, a fim de eliminarmos o expoente 3 que está em x:
raiz cúbica de 1/x ^3 = 1/x
raiz cúbica de 8 ^ 4 = 2 ^ 4
Consequentemente teremos que:
1/x=2 ^ 4
1/x = 16
x= 1/16
alternativa A.
Sei que tem um monte de respostas aqui, então vou colocar o meu passo-a-passo também =)
y = Log (1/27) na base 81, então se tem divisão no log, joga na propriedade de divisão => Log 1/27 => Log 1 - Log 27.
y = Log 1 - Log 27 (todos na base 81), lembrando que todo log 1 em qualquer base é 0.
y = 0 - Log 27 (base 81), agora joga na propriedade de igualar base, mas como dá para ver que tudo está relacionado com o número 3, coloca tudo na base 3.
y = - log 27 (base 3) / log 81 (base 3), agora é só calcular normalmente. Para calcular isso é só pensar: bem, tenho a base 3, então tenho que saber que exponencial preciso usar para chegar em 27, desse jeito ó:
3^x=27
Opa, 3^3 = 27, então
Log 27 (na base 3) = 3.
Mesma ideia vale para o outro,
3^x=81
3^4 = 81, então
Log 81 (na base 3) = 4
Daí é só substituir.
y = - log 27 (base 3) / log 81 (base 3)
y = - 3 / 4
Beleza, agora sabendo que x^y=8, então
x^-3/4=8
Agora é só lembrar dessa propriedade abaixo:
x^2 = 4, manda o 2 para o outro lado como raiz.
x = Raiz Quadrada de 4
x = 2
Quando você manda para o outro lado, você só está invertendo o bicho, transformando ele em exponencial 1/2, que nada mais é que raiz quadrada mesmo.
x^2=4, manda o 2 para o outro lado como raiz.
x=4^1/2, que é a mesma coisa que raiz quadrada.
x= Raiz Quadrada de 4
x = 2
Então é só usar a mesma lógica de jogar a exponencial para o outro lado, deixando ele invertido
x^-3/4 = 8
x = 8^-4/3, como não queremos fazer uma raiz cúbica com exponencial negativa, é só lembrar que 8 = 2^3,
x = (2^3)^-4/3, propriedade de exponencial em exponencial, é só multiplicar as exponenciais.
x = 2^3*-4/3
x = 2^-12/3
x = 2^-4, para tirar esse negativo é só colocar 1 em cima de tudo.
x = 1/2^4
x = 1/16.
Como curiosidade mesmo:
Lembrando que todos os passos a seguir é só para comprovar como a exponencial chegou invertida do outro lado no primeiro passo:
Tínhamos
x^-3/4=8
Então Logaritmiza tudo!
log x^-3/4 = log 8, propriedade de exponencial, desce o bicho já multiplicando.
-3/4 * log x = log 8, tá multiplicando, passa para o outro lado dividindo.
log x = log 8 / -3/4, agora que é o negócio, todo número já é dividido por 1, ou seja, (log 8)/1 / -3/4, então, é só continuar com a conta, conservando a primeira e multiplicando pelo inverso da segunda:
log x = log 8 * -4/3, esse é o inverso da propriedade do exponencial, só colocar o que está multiplicando como exponencial.
log x = log 8^-4/3, quando tem logs de mesma base, só cortar eles.
x = 8^-4/3.
Pronto =)
Sei que não é simples, mas é só saber as propriedades que fica tranquilo.