Questão 73120

• Banca: FGV
• Órgão: SEFAZ-RJ
• Ano: 2009
• Provas: FGV - 2009 - SEFAZ-RJ - Fiscal de Rendas - Prova 1
• Disciplina: Estatística
• Assuntos: Cálculo de Probabilidades; Probabilidade condicional, Teorema de Bayes e independência

Um torneio será disputado por 4 tenistas (entre os quais A e B) de mesma habilidade, isto é, em qualquer jogo entre dois dos quatro jogadores, ambos têm a mesma chance de ganhar.

Na primeira rodada, eles se enfrentarão em dois jogos, com adversários definidos por sorteio. Os vencedores disputarão a final. A probabilidade de que o torneio termine com A derrotando B na final é:

• A. 1/2.
• B. 1/4.
• C. 1/6.
• D. 1/8.
• E. 1/12.

Gabarito: E

Comentários

• 1) Jogos da primeira rodada : C_4,2 = 6 jogos possíveis => nessa fase, A não pode jogar com B e, por consequencia, C não pode jogar com D. Com isso, para conseguirmos o resultado final, somente há 4 jogos viáveis. 4/6
  
  2)A e B devem ganhar seus jogos, logo 1/2 de chance para cada
  
  3) A deve ganhar de B na final, 1/2
  
  4/6 * (1/2)³ = 1/12
      
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  Tenistas: A, B, C e D
  
  Jogos possíveis: 
  
  AB e CD
  AC e BD
  AD e BC
  
  Para termos A e B na final vemos que só as duas últimas possibilidades são viáveis, logo: P = 2/3
  
  Agora, vamos trabalhar as probabilidades de A e B ganharem seus jogos e, ainda, A ganhar de B na final.
  
  P(A avançar pra final) = 1/2
  AC e BD
  AD e BC
  
  P(B avançar pra final) = 1/2
  AC e BD
  AD e BC
  
  P(A ser campeão) = 1/2
  A e B na final
  
  P(total) = (2/3).(1/2).(1/2).(1/2) = 1/12

• RESOLUÇÃO:

  Chamemos de C e D os outros dois tenistas. Para que A e B disputem a final entre si, é preciso que na primeira rodada eles não joguem um contra o outro, mas sim contra C ou D. Isto é, precisamos ter:

  A x C    e            B x D

  ou

  A x D    e            B x C

  A probabilidade de que o adversário de A seja C ou D, e não B, é de 2 em 3 possibilidades, isto é, 2/3. Com isto, automaticamente o adversário de B será o outro (C ou D).

  A probabilidade de A ganhar seu jogo na primeira rodada é de ½, sendo também esta a probabilidade de B ganhar o seu jogo.

  Por fim, a probabilidade de A vencer B na final também é de ½. Ao todo, para cumprir o exigido pelo enunciado, é preciso que tudo isto ocorra:

  - A enfrente C ou D na primeira rodada (de modo que B enfrentará D ou C);

  - A vença seu jogo;

  - B vença seu jogo;

  - A vença B na final.

  Para tudo isto ocorrer, a probabilidade é de:

  P = (2/3) x (1/2) x (1/2) x (1/2) = 1/12

  Resposta: E