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Matrizes A , B, C e D ( de 4ª ordem )
Det ( A ) = 32
Matriz B = ½. A
Matriz C = Bt ( O determinante da matriz transposta e igual ao determinante da matriz original )
Matriz D = 2 Matriz C ( a única diferença entre essas duas matrizes é que a matriz D tem
como primeira linha a primeira linha de C multiplicada por 2 )
Det ( B ) = ½. Det (A) >>> det ( ½ .A ) = 1/2n . Det (A) ; n= 4, devido a matriz quadrada
Det ( B ) = det ( ½ .A ) = 1/24 . Det (A)
Det ( B ) = det ( ½ .A ) = 1/16 . Det (A)
Det ( B ) = det ( ½ .A ) = (1/16) . 32
Det ( B ) = det ( ½ .A ) = 2
Det ( C ) = Det (Bt) = Det (B) = 2
Det ( D ) = 2 Det (C) = 2. 2 = 4 (Se multiplicarmos uma fila qualquer de uma matriz C de ordem n por um
número real w ( caso da questão tem o valor 2), o determinante da nova matriz será o produto do determinante de C
pelo número w.)
Det ( B ) + Det ( C ) + Det ( D ) = 2 + 2 + 4 = 8
Gabarito letra ” E “
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não entende porque o determinante de B se eleva a quatro? se o determine de B é 1/2 do determinante de A., no caso ficaria B=32*1/2 que daria 16. alguém poderia me explicar??
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multiplica cada linha da matriz a por 1/2, então o det fica reduzido a 1/16. inventa uma matriz qualquer 4x4 e faz o teste.
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Pela propriedade "det a . A = an . detA" (determinante de alfa vezes A é igual a alfa elevado a ordem vezes determinante de A), sendo n a ordem da matriz.
A = 32
detB = det 1/2 . A = (1/2)4 . detA = 1/16 . 32 = 2
detC = Bt = detB = 2
detD = detC . 2 = 2 . 2 = 4
det (B + C + D) = 2 + 2 + 4 = 8
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De acordo com uma das propriedades
das matrizes, quando uma matriz é
multiplicada por uma constante C, o determinante fica multiplicado por Cn, pelo
enunciado C = ½. Logo o determinante de B ou seja o nosso detB = (1/2)4. detA
= 1/16.32 = 2
Sabemos que o determinante de uma
matriz transporta é igual ao determinante de sua matriz diagonal, logo:
detB = detBt = detC = 2
Quando os elementos de uma coluna ou
uma linha forem multiplicados por uma constante K, o seu determinante também
ficará multiplicado por K, como K = 2, teremos que detD = 2. detC = 2.2 = 4
Assim: detB + detC + detD = 2 + 2 + 4
= 8
Letra E
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2+2+4 = 8
Basta conhecer as propriedades dos determinantes!
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Jamais determinante de B=1/2.A vai ser igual a B= 1/2.32 temos que lembrar da propriedade . Se toda matriz A de ordem (n) estiver multiplicada por um número qualquer (K) então a seguinte relação é válida:
K.A = K^n. detA ......... e ai ficaria da seguinte forma (1/2)^4 . 32 = 2.
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Uma questão muito interessante que utiliza somente as propriedades dos determinantes.
Vejamos:
São 4 matrizes de ordem 4 (4 linhas e 4 colunas) = Matriz A, Matriz B, Matriz C, Matriz D.
A questão fornece o valor do Determinante da Matriz A, que é 32.
A Matriz B é a metade da Matriz A, ou seja, é a mesma coisa que multiplicarmos a Matriz A por 1/2. Assim, podemos utilizar uma importante propriedade dos determinantes, que é a seguinte: Quando multiplicamos uma matriz quadrada por um número real (que no caso é 1/2), o novo determinante (o determinante da matriz B) será o determinante anterior (matriz A) multiplicado pelo número real (1/2) elevando à ordem da matriz (4).
Aplicando:
determinante da matriz B = determinante de A multiplicado por 1/2 elevado a 4
determinante da matriz B = 32 . 1/16
determinante da matriz B= 2
Pronto, já conseguimos o valor do determinante da matriz B.
A questão continua dizendo que a matriz C é exatamente a transposta da matriz B, assim, podemos obter o valor do determinante da matriz C aplicando outra propriedade, que diz assim: O determinante de uma matriz e o determinante da sua transposta são iguais!
Logo, se o determinante da matriz B é 2, o determinante da matriz C também vai ser 2.
Por fim, a questão diz que a matriz D tem uma coluna exatamente valendo o dobro de uma coluna de C. Assim, temos uma propriedade que diz: Quando multiplicamos uma linha ou uma coluna de uma matriz por um número qualquer, o determinante dessa nova matriz é o determinante da anterior multplicado por esse número qualquer.
Logo, se o determinante da matriz C é 2, e a matriz D é formada por uma coluna que é o dobro de uma coluna de C, então o determinante da matriz D vai ser 2 x 2 = 4
Assim, somando os determinantes de B,C e D, temos:
= 2 + 2 + 4
= 8
Precisaríamos estar com as propriedades dos determinantes na ponta da língua para resolver essa questão!!!
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Para resolver esta questão basta memorizar as seguintes propriedades dos determinantes:
Resumidamente, as principais propriedades do determinante são:
- o determinante de A é igual ao de sua transposta AˆT
- se uma fila (linha ou coluna) de A for toda igual a zero, det(A) = 0
- se multiplicarmos todos os termos de uma linha ou coluna de A por um valor “k”, o determinante da matriz será também multiplicado por k;
- se multiplicarmos todos os termos de uma matriz por um valor “k”, o determinante será multiplicado por kˆn , onde n é a ordem da matriz;
- se trocarmos de posição duas linhas ou colunas de A, o determinante da nova matriz será igual a –det(A);
- se A tem duas linhas ou colunas iguais, então det(A) = 0
- sendo A e B matrizes quadradas de mesma ordem, det(AxB) = det(A) x det(B)
- uma matriz quadrada A é inversível se, e somente se, det( A) difetente de 0
- se A é uma matriz inversível, det(Aˆ-1 ) = 1/det(A)
Fonte: Prof. Arthur Lima
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Aqui devemos lembrar as propriedades dos determinantes. Sendo B = ½ x A, então detB = (1/2) x detA = (1/16) x 32 = 2.
Sendo C a matriz transposta de B, então detC = detB = detB = 2.
Como a única diferença entre C e D é que a matriz D tem como primeira linha a primeira linha de C multiplicada por 2, então detD = 2 x detC = 4.
Portanto, a soma dos determinantes das matrizes B, C e D é igual a:
2 + 2 + 4 = 8
Resposta: E
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Matrizes A , B, C e D ( de 4ª ordem )
Det ( A ) = 32
Matriz B = ½. A
Matriz C = Bt ( O determinante da matriz transposta e igual ao determinante da matriz original )
Matriz D = 2 Matriz C ( a única diferença entre essas duas matrizes é que a matriz D tem como primeira linha a primeira linha de C multiplicada por 2 )
Det ( B ) = det ( ½ .A ) = 1/2 ^4 . 32 = 2
Det (C) = Det (b) = 2
Det ( D) = 2 Det (C) = 2.2 = 4
Det ( B ) + Det ( C ) + Det ( D ) = 2 + 2 + 4 = 8 Gabarito letra ” E “