Questão 793813

• Banca: UNICENTRO
• Órgão: UNICENTRO
• Ano: 2012
• Provas: UNICENTRO - 2012 - UNICENTRO - Vestibular - Matemática
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

Em Irati, cidade do Paraná, um grupo de senhoras criou um “Clube de Leitura”. Na sede do clube, elas trocavam livros, liam e discutiam sobre o assunto de que tratavam. Uma nova moradora da cidade ingressou no grupo e descobriu que precisaria ler 8 livros, 1600 páginas, para acompanhar o bate-papo literário com as novas amigas. Resolveu, pois, iniciar a leitura da seguinte maneira: leria todos os dias, sendo que, no 1^o dia, serem lidas x páginas e, a cada dia, leria 2 páginas a mais do que as lidas no dia anterior.
Se completou a leitura das 1600 páginas em 25 dias, então o número de páginas lidas no 1^o dia, foi igual a

• A. 60
• B. 50
• C. 40
• D. 30
• E. 20

Gabarito: C

Comentários

• 
  

  1	2	3	...																				...	25
  x	X+2	X+4

   
  Iniciou a leitura dos livros com X páginas no primeiro dia. No segundo dia 2 páginas a mais que no primeiro ou X+2. A cada dia que passava sempre lia 2 páginas a mais que no dia anterior.
  Temos então uma progressão aritmética (PA) de razão 2  ou r =2 em que o primeiro termo é X
  Ou a₁ = X             n é o número de termos  n= 25
  PA = (a_1,  a_2,...., an) = ( x, x+2, x+4, x+6, ... a₂₅)
  Numa PA temos a expressão do termo geral:  a_n= a₁  +(n-1)r    ou  a₂₅= x + (25-1).2 
  ou  a₂₅= x + 48     Quer dizer: no vigésimo quinto dia foram lidas:  x+ 48 páginas.
  Expressão da soma de termos na PA:  Sn = ( a₁+ a_n).n/2 ou  s_{25 =} (a₁ + a₂₅).25/2     ou
  s_{25 =} ( x + x+48).25/2   = 1600    (1600 páginas em 25 dias )           daí é só achar o X
  (2x +48)25 = 3200 →  50x + 1200 = 3200   → 50x = 2000  →  x = 40    alternativa ©
    
• Nova moradora:
  8 livros - 1600 páginas
  Ela fez isso em forma de Progressão Aritmética (P.A.). Como a gente não sabe qual o número de páginas iniciais, podemos fazer a seguinte representação:
  a1, a1 +2, a1 +2 +2 ....até chegar às 1600 que seriam o número total de páginas a serem lidas somando tudo o que ela leu até o 25º dia no qual ela terminou.
  Utilizando a fórmula de soma das Progressões aritméticas, vamos substituir os termos para encontrar o primeiro número da P.A.:
  S25 (A soma das páginas lidas ao longo dos 25 dias)= número de termos x (primeiro número + o último número) / (dividido por 2)
  Ora, sabemos que a soma de tudo foi 1600 páginas e que o último termo foi 25, assim temos:
  1600 = 25 x (a1 +a25) / 2
  Não sabemos quanto é a1, mas pela fórmula do cálculo de um termo da P.A., podemos fazer a25 =  a1 + (25 -1)x2 Logo a25= a1 +48
  Substituindo a25 por a1 +48 no cálculo anterior, temos
  1600 = 25 x (a1 +a1 +48) / 2
  1600 = 50a1 + 1200 / 2 Simplificando e invertendo a equação temos
  25a1 = 1600 - 600 Logo a1 = 1000 / 25
  a1=40

   

  Portanto, ela leu quarenta páginas no primeiro dia. LETRA C.

• a1 = ?
  n = 25
  r = 2
  an = ?
  
  an = a1 + (n-1)*r
  an = a1 + 24*2
  an = a1 + 48
  
  sn = (a1+an)*n/2
  1600 = (a1+an)*25/2
  3200 = 25a1 + 25an
  
  substitui o valor de an, assim:
  
  3200 = 25a1 + 25*(a1+48)
  3200 = 25a1 + 25a1 + 1200
  2000 = 50a1
  a1=40
  

• 8 L - 1.600 pg - 25 dias

  1  2   3   4     25

  x x+2 x+4 x+6... x+48

  media = x+x+48/2 = 2x+48/2 = x+24

  soma = (x+24) x 25 = 25x + 600

  25x + 600 = 1600

  x=40

  prova real

  40 42  44,,,,,,,,88

  40+88/2 = 64

  64x25 = 1.600

  Outra visao

  2  4  6  8 10 -> soma = 30

  x          x+8

  media = x+x+8/2 = 2x+8/2 = x+4

  soma = media x n

  soma = (x+4) x 5 = 5x + 20 = 30  -> x=2

  
  

• Resolvendo por progressão aritmética:

  
  

  
  

  Usando a fórmula da soma de n termos:

  
  

  
  

  Resolvendo o sistema pelo método da substituição do resultado (i) e (ii), acharemos o valor de a₁ = 40.

  
  

   Letra C.

  
  

• Em questões como essas eu faço por aproximação, acho mais rápido

  Usando como exemplo a letra 

  d) 30

  30, 32, 34, 36 ...

  30 x 25 = 750

  25 x (25 - 1) = 600

  750 + 600 = 1350 errado por que é menor que 1600 precisamos de um numero maior, vamos tentar a letra c)

  
  

  c) 40

  40, 42, 44, 46 ...

  40 x 25 = 1000 aqui já encerraria a questão, mas vamos continuar

  25 x (25 - 1) = 600

  1000 + 600 = 1600 

  Resposta letra c) 40

  
  

  
  

  
  

• Simples pessoal.

  Sn =( a1 + an). n/2

  1600 = (x+ x+48).25 /2

  3200 = 50x + 1200

  2000=50x

  X = 40