Questão 796531

• Banca: CEV-URCA
• Órgão: URCA
• Ano: 2012
• Provas: CEV-URCA - 2012 - URCA - Vestibular - Prova 2
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Álgebra Linear; Matrizes

Considere as seguintes sentenças abaixo, sendo A e B matrizes quadradas.

(I) Se AB=0, então A=0 ou B=0.

(II) Se A e B são matrizes simétricas, então (AB) t =BA.

(III) Se AB=0, então BA=0.

(IV) (A+ B) ² =A² + 2AB+ B² .


(V) Se A e B são simétricas, então
(A+ B)(A-B)=A² -B² .


Assinale a alternativa CORRETA:

• A. (I) é verdadeira e (IV) é falsa.
• B. (V) e (III) são verdadeiras.
• C. apenas (III) é falsa.
• D. apenas (II) é verdadeira.
• E. (II) e (V) são verdadeiras.

Gabarito: D

Comentários

• (I) Se AB=0, então A=0 ou B=0.
  ERRADO:
  Os zeros podem estar "espalhados" pelas duas matrizes e ter ocorrido a coincidência de sempre ter um elemento zero multiplicando.

  (II) Se A e B são  matrizes  simétricas,  então (AB) t =BA.
  CERTO:
  A transposta do produto A.B é o produto (B)t.(A)t
  Como são matrizes simétricas, isso equivale a B.A

  (III) Se AB=0, então BA=0.
  ERRADO:
  Não necessariamente haverá uma matriz nula (ver I)
  A propriedade comutativa não se aplica à multiplicação de matrizes

  (IV) (A+ B) 2 =A2 + 2AB+ B2
  ERRADO:
  Essa regra de produtos notáveis não se aplica a Matrizes (matrizes são "tabelas" e não números)

  (V) Se A e B são simétricas, então (A+ B)(A-B)=A2 -B2 .
  ERRADO:
  Mesma justificativa da (IV)

  
  

• A única alternativa correta é o item II, pois a transposta do produto A.B é o produto A^tB^t, assim como são matrizes simétricas, isso será o mesmo que B.A.
  
  Logo a alternativa correta é a letra D.