Gabarito: A.
Fábio Soares, na minha humilde opinião, acho que a resposta para suas perguntas é sim, sim e sim, porém o enunciado da questão não fala (ainda) de cancelamento de registro de candidatura, mas sim de impugnação de registro de candidatura.
1) Esta questão, foi respondida pelo colega "Labor vincit!!!", cuja resposta ele tirou "integralmente" deste link:
"http://www.forumconcurseiros.com/forum/forum/disciplinas/direito-eleitoral/75161-tre-rn-direito-processual-eleitoral-e-criminal-eleitoral"
Leia principalmente o art.11, § 2° da LC 64/90: Terminada a sessão (no TRE), far-se-á a leitura e a publicação do acórdão, passando a correr dessa data o prazo de 3 (três) dias, para a interposição de recurso para o Tribunal Superior Eleitoral, em petição fundamentada.
2) É o caso do inciso III do Art 121, parágrafo 4°?
Sim, pois na primeira parte do inciso fala em inelegibilidade (III - versarem sobre inelegibilidade ou expedição de diplomas nas eleições federais ou estaduais;), prevista na LC 64/90.
Achei interessante este artigo: http://www.justicaeleitoral.jus.br/arquivos/impugnacao-ao-registro-roteiros-eje
3) Sim, vale para todas esferas.
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"Se você tem um plano, vai acabar executando-o; se você não tem um plano, o executado é você."