Para resolvermos este problema, devemos lembrar das propriedades de logaritmo e como se resolve uma equação logarítmica. Vejamos:
log(x2) pode ser escrito como 2.log(x), utilizando a propriedade logaritmo da potência (verifique!).
[log(x)]2 – log(x2) – 3 = 0 , então [log(x)]2 – 2.log(x) – 3 = 0.
Agora, vamos fazer uma substituição para nos ajudar na resolução, vamos fazer
log(x) = y.
[log(x)]2 – 2.log(x) – 3 = 0.
y2 – 2.y – 3 = 0
Resolvendo a equação do 2° grau acima:
Mas, a equação original se encontra na incógnita x, então vamos “voltar”.
Produto das raízes = 0,1.1000 = 100.
Qual é o produto das raízes da equação [log(x)]^2 - log(x^2 ) - 3 = 0 ?
As raízes, para quem não sabe, é ou são os valores de x para quais a equação é igual a zero.
Ele quer o produto das raízes dessa equação.
Vamos encontrá-las então.
Tomar cuidado com o sinal de menos ali no meio.
[Log (x). Log (x)] - 2Log (x) - 3 = 0 (vamos usar a substituição de variável para encontrar o valor de Log (x), e não as raízes da equação.
Dessa forma, visto q é possível nesse caso: Log (x) = y.
Portanto, y^2 - 2y - 3 = 0
Vamos fazer por Soma e Produto, visto que o coeficiente de a=1 (1y^2)
Logo, S= 2, P = -3, logo = (3, -1), ou seja, 3-1 = 2, e 3*-1 = -3
Essas não são as raízes da equação. São os valores de Log (x).
Agora, vamos achar as raízes, ou seja, os valores de x.
Primeira raíz,
Utilizar a definição de Log.
Log x1 = 3
10^3 = x1
Segunda raíz,
Utilizar a definição de Log.
Log x2 = -1
10^-1 = x2
Verificar a CE.
x>0, então ambas as raízes atendem, ou seja, 10^3>0 e 10^-1>0
Agora, basta calcular o produto delas,
Portanto,
Produto
10^3 = 1000
10^-1 = 1/10
1000 x 1/10 = 100
Letra D