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a1+a3=60 a1+a5=100
a1+a1+2r=60 a1+a1+4r=100
2a1+2r=60 2a1+4r=100
Somando as duas equações
2a1+2r=60 (x-2) --> -4a1-4r=-120
2a1+4r=100--------> 2a1 +4r=100
-2a1=-20
a1=10 mil reais
Substituindo na eq acima
2x10+2r=60
20+2r=60
2r=40
r=20mil reais (Razão da progressão)
Portanto podemos escrever a PA de 5 termos
PA-- (10,30,50,70,90)mil
Pela soma temos
S5= (an+a1).n/2 ---> (90 +10).5/2 =250 mil reais
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Existe uma fórmula de PA que trata exatamente da soma dos termos de uma progressão aritmética onde utilizamos somente o primeiro, o ultimo termo e a razão dos termos. Segue: Sn = (A1+ An).n / 2
Sendo Sn (soma dos termos)
A1 (primeiro termo)
An (Último termo)
n (numero de termos)
A questao já nos dá a soma do primeiuro e do ultimo termo: 100.000,00
Sendo assim teremos: Sn = (100 000).5/ 2
Sn = 500 000 /2
Sn= 250 000
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A fórmula da soma de elementos de uma "PA", mataria essa questão em dois segundos:
Sn=(a1+an)n/2
Sn= (a1+a5)5/2
Sn=100x5/2
Sn=250
Até!
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Soma dos termos de uma P.A. finita:
sendo a P.A. (a1, a2, a3, a4,a5)
1) se a1 + a5 = 100, então a2 + a4 = 100
2) o termo central, quando existir, é a média aritmética entre os extremos. Nesse caso, o termo central é a3.
a3 = (a2 + a4) / 2 = 50
3) o valor total de compra do imóvel é: 100 + 100 + 50 = 250 mil.
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PA de 5 termos ( a1, a2, a3, a4, a5 ) onde :
a1 + a3 = 60000 a1 + a5 = 100000
a1 = 60000 - a3 a1 = 100000 - a5
Como a5 é igual a2 + a3 vamos substituir:
a1 + a5 = 100000
60000 - a3 + a2 + a3 = 100000
a2 = 40000 (esse não é o verdadeiro valor de a2 isolei ele só para facilitar minha conta para achar a razão, lembre-se eu ainda não tinha minha razão)
Como a3 é igual a1 +a2, faremos o seguinte:
a1 + a3 = 60000
a1 + a1 + 40000 = 60000
2a1 = 20000
a1 = 10000
Agora basta substituir :
a1 + a5 = 100000
10000 + a5 = 100000
a5 = 90000
vamos agora achar a razão
an = a1 + (n-1)r
90000 = 10000 + (5-1)r
80000 = 4r
r = 20000
PA = (10000, 30000, 50000, 70000, 90000) somando tudo 250000
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A soma dos termos equidistantes dividido por 2 é igual a mediana
A1+A5/2= A3
A1+A5=100MIL
A3=100MIL/2
A3= 50 MIL
A1+A3= 60
A1=10 MIL
[...]
A3= A1+2R
60=10+2R
R= 20 mil
[...]
An = a1+ ( n- 1 ) r
An= 10+ (n-1) 20
An= 10 + 20n-20
An= 20n -10
[...]
SomaT = 10 + (20n-10) 5/2
SomaT = 10 + ( 100-10)5/2
SomaT= 10+ (500-50)/2
SomaT = 10 + 450/2
SomaT = 460/2
SomaT= 230 mil
LETRA C
APMBB
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Tem os seguintes temos: a1, a2, a3, a4 e a5... Se a1+a5 resulta em 100k, logo a2 e a4 também (propriedade de PA),assim já tem 200k
a3=; a2+a4/2 = 50k
Assim, 100k + 100k + 50k = 250k