Questão 88921

• Banca: CESPE / CEBRASPE
• Órgão: PRF
• Ano: 2008
• Provas: CESPE - 2008 - PRF - Policial Rodoviário Federal
• Disciplina: Raciocínio Lógico
• Assuntos: Geometria Básica

Considere que um cilindro circular reto seja inscrito em um cone circular reto de raio da base igual a 10 cm e altura igual a 25 cm, de forma que a base do cilindro esteja no mesmo plano da base do cone. Em face dessas informações e, considerando, ainda, que h e r correspondam à altura e ao raio da base do cilindro, respectivamente, assinale a opção correta

• A. A função afim que descreve h como função de r é crescente.
• B. O volume do cilindro como uma função de r é uma função quadrática.
• C. Se A(r) é a área lateral do cilindro em função de r, então
• D. É possível encontrar um cilindro de raio da base igual a 2 cm e altura igual a 19 cm que esteja inscrito no referido cone.
• E. O cilindro de maior área lateral que pode ser inscrito no referido cone tem raio da base superior a 6 cm.

Gabarito: C

Comentários

• Montando a figura de forma correta, podemos analisar as alternativas.A) Apenas olhando a figura, percebe-se que a função é afim decrescente. Tal função é encontrada da seguinte forma:(25 - h)/r = 25/10 => 25 - h = 5r/2 => h = 25 - 5r/2, que é decrescente.Alternativa errada.B) O volume Vc do cilindro é:Vc = pi*r^2*h, substituindo h = 25 - 5r/2, tem-seVc = pi*r^2*(25 - 5r/2) = 25*pi*rˆ2 - 5*pi*r^3/2, que é uma função cúbica de r.Alternativa errada.C) A área lateral A(r) do cilindro é calculada como:A(r) = 2*pi*r*h, substituindo h = 25 - 5r/2, tem-seA(r) = 2*pi*r*(25 - 5r/2), A(r) = pi*r*(50 - 5r)A(r) = 50*pi*r*(1 - r/10)Alternativa correta.D) Sabemos que h e r estão relacionados por meio de h = 25 - 5r/2. Substituindo r = 2c encontra-se h = 25 - 5*2/2 = 25 - 5 = 20 cm, que é diferente de 19 cm. Portanto, não é possível construir tal cilindro.Alternativa errada.E) Sabemos que a área lateral é A(r) = pi*r*(50 - 5r) = 50*pi*r - 5*pi*r^2. Temos uma função parabólica com coeficientes a = -5pi, b = 50*pi e c = 0. A abscissa do vértice é r_v = -b/2a = -50*pi/(-10*pi) = 5 cm, que é inferior a 6 cm.Alternativa errada.Letra C.Opus Pi.

• Complementando a resposta do nobre colega.

  É possível encontrar o erro da letra E, fazendo a derivada da função da area lateral do cilindro e igualando a 0.

  Após esse cálculo, obtem r=5cm. Tornando o item Falso.

  Uma boa questão essa.

• http://sabermatematica.com.br/volumes-exercicios-resolvidos.html

    

    

  Melhor explicação até agora.

• a) A função afim que descreve h como função de r é crescente.

  Basta verificar que a medida que r aumenta, h diminui, ou seja, a função é decrescente.

  Para encontrar a equação de h, vamos usar o método dos triângulos proporcionais. Se o triângulo maior, ABC, e o triângulo menor CDE. Veja:

  (o fato de -2,5r ser negativo nos prova que a função afim é decrescente)

   

  b) O volume do cilindro como uma função de r é uma função quadrática.

  V = π.r².h =  π.r².(25 – 25r/10) = 25π.r² – 25π.r³/10

  Veja que a função é cúbica e não quadrática.

   

  c) Se A(r) é a área lateral do cilindro em função de r, então A(r) = 50.π.r.(1 – r/10)

  A(r) = base.altura = 2π.r.h = 2π.r.(25 – 25r/10) = 50π.r (1 – r/10)

   

  d) É possível encontrar um cilindro de raio da base igual a 2 centímetros e altura igual a 19 centímetros que esteja inscrito no referido cone.

  h = 25 – 25r/10 = 25 – 25.2/10 = 25 – 5 = 20

   

  e) O cilindro de maior área lateral que pode ser inscrito no referido cone tem raio da base superior a 6 centímetros.

  A(r) = 50π.r (1 – r/10) = 50π.r – 5π.r².    (função quadrática decrescente, o ponto máximo de r é o vértice)

  xv = -b/2a – -50π/2(-5π) = 5

   

  Resposta: C

• Gabarito C

  Melhor explicação no site: https://youtu.be/M6aM9vS5e2Y