Questão 900052

• Banca: INEP
• Órgão: ENEM
• Ano: 2011
• Provas: INEP - 2011 - ENEM - Exame Nacional do Ensino Médio - Primeiro e Segundo Dia
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Análise Combinatória em Matemática; Raciocínio Lógico

O setor de recursos humanos de uma empresa vai realizar uma entrevista com 120 candidatos a uma vaga de contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada candidato um número, colocar a lista de números em ordem numérica crescente e usá-la para convocar os interessados. Acontece que, por um defeito do computador, foram gerados números com 5 algarismos distintos e, em nenhum deles, apareceram dígitos pares.
Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que tiver recebido o número 75 913 é

• A. 24.
• B. 31.
• C. 32.
• D. 88.
• E. 89.

Gabarito: E

Comentários

• Foram gerados números de 5 algarismos distintos, com apenas algarismos ímpares (1, 3, 5, 7 e 9), qual seria então a ordem de chamada do candidato que tiver recebido o número 75 913? usaremos então aqui, o Princípio Fundamental da Contagem (PFC).
  
  Assim, fazendo as permutações possíveis antes de 75 913, temos:
  
  Começando com 1, 3 ou 5. Lembrando que temos 5 possibilidades (1, 3, 5, 7, 9), temos 1 algarismo para escolher de 5, sobram 4.
  
  
  
  3 x 4 x 3 x 2 x 1 = 72
  
  Começando com 71 ou 73 (2 algarismos de 5 possibilidades, sobram 3).
  
  
  
  2 x 3 x 2 x 1 = 12
  
  Começando com 751 ou 753 (3 algarismos de 5 possibilidades, sobram 2).
  
  
  
  2 x 2 x 1 =  4
  
  
  Assim, somando-se tudo: 72 + 12 + 4 = 88 Todas as permutações antes de 75 913). Logo somando-se mais 1 unidade, ou seja a ordem de 75 913): 88 + 1 = 89.
  
  
  
  Resposta: Alternativa E.
  

• Ao invés de simplesmente dizer qual é a alternativa certa (o que é inútil, pois o sistema informa o gabarito), seria bom explanar como foi feito o seu raciocínio para acertar a questão.

• Prefiro fazer por partes. São 5 números ímpares,  total de 120 números possíveis (5) (4) (3) (2) (1)

  Iniciando com 1: 1 (4) (3) (2) (1) = 24

  Com 3: 3 (4) (3) (2) (1) = 24

  Com 5: 5 (4) (3) (2) (1) = 24

  O número inicia com 7, então

  7 1 (3) (2) (1) = 6

  7 3 (3) (2) (1) = 6

  7 5 1 (2) (1) = 2

  7 5 3 (2) (1) = 2

  7 5 9 1 3 = 1

  Somando todas: 24 + 24 + 24 + 6 + 6 + 2 + 2 + 1 = 89 

• 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

   

  Maior número: 9 7 5 3 1

   

  Números maiores que 7 5 9 1 3

   

  Começando por 9: 4 x 3 x 2 x 1 = 24

   

  Começando por 7 e 9: 3 x 2 x 1 = 6

   

  Começando por 7, 5 e 9: 1 x 1 = 1

   

  24 + 6 + 1 = 31

   

  Logo, 7 5 9 1 3 é

   

  120º - 31 = 89º

• Segundo o texto, o sistema de senhas mudou para uma ordem crescente de números ímpares e distintos. Por exemplo:

  O candidato de número 1, ao invés de receber uma ficha com o número 1 escrito, vai receber agora uma ficha com o número 13579 (esse é o primeiro número das variadas possibilidades de números que podemos formar com algarismos 1,3,5,7 e 9)

  Agora precisamos descobrir qual a posição do candidato que recebeu a senha de número 75913. Você precisará resgatar a ideia de permutação. Não importa saber quantas possibilidades de números eu posso formar e sim como eu vou formar-los. Nesse caso, perceba que basta eu trocar os algarismos de posição que eu formo novos números:

  _ . _ . _ . _ . _ <=> cada espaço desse eu coloco um algarismo e o sinal de multiplicação indica que eu posso permutar (trocar de posição) esses algarismos. Como os algarismos precisam ser distintos, a medida que eu vou colocando um algarismo numa posição, eu diminuo as possibilidades de escolha de algarismos para outra posição e assim vai...

  l) quantos números veem antes do 75913?

  Todos aqueles que começam com 1, sendo 1 4 . 3 . 2 . 1 <=> 24 possibilidades, ou seja, 24 números

  Todos aqueles que começam com 3, sendo 3 4 . 3 . 2 . 1 <=> 24 possibilidades, ou seja, 24 números

  Todos aqueles que começam com 5, sendo 5 4 . 3 . 2 . 1 <=> 24 possibilidades, ou seja, 24 números

  Já temos portanto 72 números. Porém, agora você precisa visualizar que o nosso número começa com 7 e possui na segunda posição o algarismo 5. Dessa forma, todos os números que começam com 7 e possuem ou o 1 ou 3 na segunda casa estão atrás do nosso número, não concorda?

  ll) números que começam com 7:

  Todos que possuem o 1 na segunda posição: 71 3 . 2 . 1 <=> 6 possibilidades, ou seja, 6 números

  Todos que possuem o 3 na segunda posição: 73 3 . 2 . 1 <=> 6 possibilidades, ou seja, 6 números

  Já são 84 números. Agora faça o restante na mão até chegar ao 75913:

  ....75193 < 75139 < 75319 < 75391 < 75913 ...

  Já eram 84 números admitindo o 3 na segunda posição. Quando impos que o "5" precisava estar na 2 posição, montando em ordem crescente, percebemos que o número 75913 corresponde ao 89º número dessa lista.

  Letra E

• eu entendi todos os raciocínios, mas nunca eu teria essa sacada numa prova. parabéns ae

• Principio Fundamental da Contagem.

  3 x 24 = 72

  2 x 6 = 12

  2 x 2 = 4

  72 + 12 + 4 + 1 = 89

  Letra E

• 1 4 3 2 1 = 4! = 24 possibilidades

  3 4 3 2 1 = 4! = 24 possibilidades

  5 4 3 2 1 = 4! = 24 possibilidades

  No total, já são 72 possibilidades. Chegamos no número 7 agora, e como queremos o que têm o segundo algarismo com 5 (já que a questão pediu 75913) vamos ir começando o segundo algarismo por outros números:

  7 1 3 2 1 = 3! = 6

  7 3 3 2 1 = 3! = 6

  72 + 12 = 84. Faltam agora os números que tem o segundo algarismo começando com 5:

  75139 (85°); 75193 (86°); 75319 (87°); 75391 (88° — aqui já podia parar, já que a alternativa com o maior número é a E) e 75913 (89°).

  Essa é uma questão que provavelmente seria classificada como difícil ou média, e não porque os cálculos são difíceis, mas ter esse raciocínio em pouco tempo na prova é osso.

  Alternativa E.