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O algarismo 4 tem que ser obrigatoriamente usado uma única vez, então vamos dividir em duas situações:
Situação 1: a senha com o algarismo 4 sem a utilização do algarismo 6.
O algarismo 4 pode ocupar 4 posições diferentes, ou seja: na primeira, na segunda, na terceira ou na quarta casa.
como temos 6 algarismos, sendo que o 4 é obrigatório e o 6 não é usado, então, neste caso, sobram 4 algarimos para preencher as outras três casas.
logo, teremos: 4 x 4 x 4 x 4 = 256 possibilidades
Situação 2: a senha com o algarismo 4, bem como a utilização do algarismo 6.
Nesta situação, o algarismo 4 é obrigatório, bem com os dois 6 a serem utilizadas.
então, sobram 4 algarismos para preencher uma única casa.
1) com o algarismo 4 na primeira casa: 466x / 46x6 / 4x66
2) com o algarimos 4 na segunda casa: 646x / 64x6 / x466
3} com o algarismo 4 na terceira casa: 664x / 6x46/ x646
4) com o algarismo 4 na quarta casa: 66x4 / 6x64 / x664
ao todo temos 12 configurações de senha diferentes com 4 possibilidades cada uma.
logo, teremos 12 x 4 = 48 possibilidades.
Portanto, podemos formar, no máximo, 256 + 48 = 304 senhas.
Fonte:http://www.tutorbrasil.com.br/forum/matematica-concursos-publicos/combinatoria-t39517.html
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entendi nada.=/
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se o algarimos 4 é usado uma vez pq é 4*4*4* ??? afinal eu tenho 6 números...se na primeira hipóstese eu tenho 5 números pq ñ vou usar o 6, pq é 4*4*4*4 ??? não entendi. =/
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Ana Oliveira, vamos ver se consigo explicar, porque essa questão é a forma mais complicadinha que poderá ser cobrado em prova, pelo menos as que estou me deparando. Para resolvermos esta questão utilizamos o chamado - Princípio fundamental da contagem (P.F.C)- que tem como regra a permissão de podermos repetir elementos, como exemplo típico utilizarei a questão de formação de senhas! EX; quantas senhas de 4 dígitos podemos obter utilizando os algarismos 1,2,3,4. Primeiro sempre faça a "pergunta" para a questão... os elementos podem se repetir? e depois "pergunte" a ordem importa? Bom nesse caso podemos repetir, vejamos 4 (1;2;3;4) x 4 (1;2;3;4) x 4 (1;2;3;4) x 4 (1;2;3;4) podemos obter 256 senhas diferentes . O que ocorreu nessa questão foi que precisaremos utilizar duas vezes o P.F.C. O que tornará a resolução mais complicada, porém não impossível..rsrs, pois como explicado pelo colega abaixo da mais trabalho na minha opinião. Ana Oliveira, repare que primeiro você "acha" todos os possíveis algarismos utilizando somente os que não possuem restrições como na questão, ou seja, o 1;2;3;5; você poderá ter em qualquer um dos dígitos da senha, por isso 4 (1;2;3;5) x 4 (1;2;3;5) x 4 (1;2;3;5) x 4 (1;2;3;5), para encontrarmos quantas senhas podemos formar com 4 dígitos lembra do início?? Bom, achado o valor de 256 senhas possíveis, precisamos agora- como falei no começo essa questão requer outra resolução-, contendo as regras que ele impôs. A senha continua com os mesmos 4 dígitos só que agora iremos calcular incluindo as duas possibilidades do dígito 6 e uma (apenas) do algarismo 4 . 2 x ( 4,6) x 2 (4,6) 2 x (4,6) ¨x 6 ( 1;2;3;4;5;6) = 48 agora some 48 + 256 = 304 Repare que na segunda situação só calculamos as possibilidades que ainda não tínhamos calculado, e caso não tenha entendido o porquê das 6 possibilidades na ultima "casa" é porque na regra ele queria que obrigatoriamente o 6 aparece 2 vezes, o 4 uma, "sobrando" o último dígito para preencher, sem nenhuma outra restrição, que poderá ser qualquer um dos 6 dígitos(1;2;3;4;5;6). É difícil de explicar por mensagem, mas espero ter conseguido deixar mais claro para você. Bons estudos.
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eu entendi mais ou menos. é que o meu raciocínio foi assim: eu tenho 4 quadradinhos para prencher, aí eu pensei assim se na hipótese do 4 ser apenas usado uma vez, eu fiz 4(1,2,3,5)x4x4x1(pq ñ é apenas 1 vez o 4?) então pensei assim. mas não entendi na primeira alternativa do 256. pq é 4*4*4*4...os algarimos são (1,2,3,5)...então vc exclui desse calculo da primeira possiblidade o 4 e o 6??? e depois vc calcula separadamente o 6 e 4??
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Gabarito:B (304 possibilidades de senhas)
Para Gregos...
Bem,vamos entender o que a banca nos pede! (SE EU NÃO ENTENDI DIREITO ME AVISEM!!!!!!! Mas sem me esculhambar)
1ºPasso) Ela nos dá 6 números (1,2,3,4,5 e 6) e nos diz que devemos arrumá-los em quatro posições para formar uma senha.
__ __ __ __
Porém, existem duas condições: *O algarismo 4 deve obrigatoriamente ser usado uma única vez.
*O algarismo 6, se usado, deve aparecer exatamente duas vezes.
Mas o que isso nos quer dizer?
Gerente:Seu João, a sua nova senha tem que ter, OBRIGATORIAMENTE, o número 4. E o 6, caso ele apareça, deve ser usado EXATAMENTE duas vezes.
Então S. João disse: Pode deixar comigo que de análise combinatória eu entendo...
2ºPasso) __ __ __ __ A senha deve ter 4 números. O 4 tem cadeira cativa, mas o 6 ,apenas se ele aparecer.. Então faço o quê? Bem, tenho 1,2,3,4,5 e 6
Então S. João percebeu que dos 6 números disponíveis ele só poderia usar4 livremente, pois o quatro apenas pode ocupar uma posição e o 6 está fora dessa primeira etapa. Logo, o 4 ocupa apenas um lugar, e como a questão não diz que eles não podem se repetir na senha,vamos assim: 1x 4x 4x 4= 64. Ôpa, mas tem um detalhe! Essas 64 senhas são apenas quando o número 4 estiver na primeira casa. Mas ele poderá estar na Casa2 (4x1x4x4x4) na Casa3 (4x4x1x4) 3 na Casa4(4x4x4x1). Logo a quantidade de senha que obedecem a primeira regra é igual a 64x4= 256.
Vamos guardar esse resultado: 256.
3ºPasso) O número 4 sempre está presente, agora o número 6 tem que se repetir 2 vezes na senha. Bem, são 4 posições ( __ __ __ __) o 4, 6 e 6 têm cadeiras cativas, o que nos resta? Apenas uma posição. Para colocar quantos números? 4 (1,2,3,5).
Como proceder? Bem, 466x apresenta 4 possibilidades. 46x6, mais 4possibilidades e 4x66, mais 4 posibilidades. De cara teremos 12 possibilidades, e isso podemos fazer mais 3 vezes (totalizando 4 vezes) (demonstração: 646x,64x6,x466. 664x,6x46,x646. 66x4,6x64,x664) e o x assume 4 valores possíveis, logo, 12x4=48
Logo,existem 48 formas de organizarmos uma senha com o 4 como elemento obrigatório e o 6 se repetindo 2 vezes.
Mas a resposta final não é essa. É: qual o número de senhas possíveis que pode-se formar observando as regras dadas pela examinadora. Logo, 256+48= 304. Essa é a nossa resposta.
Gabarito:B de aBacate.
Treine com exaustão até a perfeição.
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De acordo com o enunciado, só devemos
usar o algarismo 4 apenas uma vez e se o algarismo 6 for usado, este só poderá
aparecer apenas 2 vezes, os outros algarismos podem repetir normalmente.
Vamos
começar com o caso onde não usaremos o algarismo 6, percebe-se que o algarismo
4 poderá ocupar uma vez qualquer uma das quatro posições, e nas outras 3
posições teremos sempre 4 opções de números para ocupa-las (1, 2, 3, 5). Logo:
4
ocupa, restando então um lugar para encaixar quatro algarismos (1, 2, 3, 5).
Ou podemos pensar da seguinte
maneira:
i) 4 na primeira casa: 466x / 46x6 / 4x66
ii) 4 na segunda casa: 646x / 64x6 / x466
iv) 4 na terceira casa: 664x / 6x46/ x646
v) 4 na quarta casa: 66x4 / 6x64 / x664
Logo, temos doze maneiras diferentes de quatro
possibilidades cada, assim:
4 x
12 = 48.
Somando tudo: 256 + 48 = 304
possibilidades.
RESPOSTA: (B)
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Caso 1: Obrigatoriedade do 4 e não utilização do 6
_ _ _ _ teremos obrigatoriamente que colocar o 4 em uma das casas e não podemos colocar o 6, teremos assim as possibilidades (1,2,3 e 5) para cada casa, equacionando (1x4x4x4) = 64, porém o 4 poderá se movimentar nas 4 casas, ou seja, multiplicaremos o resultado pela quantidade de casas que o 4 pode ser colocado (64x4 = 256).
Caso 2: Utilização do 6 na obrigatoriedade do 4
_ _ _ _ com a utilização do 6 e a obrigatoriedade do 4, ocuparemos 3 das 4 casas, fixando os 3 números como um único número, sobrando apenas 1 casa que poderá ser ocupada pelas demais possibilidades (1,2,3 e 5). Equacionando (4x6x2) = 48, ou seja 4 possibilidades em 1 casa, vezes a permutação que ocorrerá dentro do dígito congelado (4,6,6) que é de 3! = 6, vezes a permutação da própria senha que é de 2! = 2, já que os dígitos (4,6,6) representam uma única casa.
Somando os dois casos, já que podemos usar um OU o outro, temos: 256+48 = 304.
Espero ter ajudado.
Ótima explicação também GEORGE ;)
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A maioria das explicações dos contribuintes são mais esclarecedoras que as do professor!
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consegui, depois de 1 hora! Eu preciso ter mais atenção ao enunciado dessas questões, um detalhe fez toda a diferença.
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A primeira parte acho que já ficou clara com as explicações anteriores.
A segunda parte do problema é simples: a senha tem 4 dígitos _ _ _ _. Obrigatoriamente o 4 irá aparecer em um desses quatro dígitos, não importando a ordem (combinação de 4 para 1 = 4). Restam três dígitos que obrigatoriamente serão ocupados por dois algarismos 6, não importando a ordem (combinação de 3 para 2 = 3). E no dígito restante você poderá apenas colocar os algarismos 1, 2, 3 ou 5 (= 4), uma vez que já obedeceu as regras impostas pelo problema. Logo, 4 x 3 x 4 = 48.
Resposta 256 + 48 = 304.
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Problema q envolve arranjo e permutação.
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Não consegui entender. :(
Alguem teria uma explicação de forma simples, reduzia?