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Acertei não sei como?! Alguém sabe explicar?
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Alguém explica??
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Questão foda!!!! Nível HARD mas achei como resolver.É um fórmula muito especifica de geometria espacial.
V'/V" = (h'/H)^3 , a razão V'/V" a própria questão forneceu (1/8), então 1/8 = (h'/32)^3 => (1/8)^(1/3) = h'/32 (lembrando que ^1/3 é raiz cúbica) => 1/2 = h'/32 => h' = 32/2 = 16. Bingo!!!!! Gabarito: "C"
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O volume de um cone é dado pela equação:
Onde Ab a área da base e h a altura do cone. Colocando a equação acima em função de h:
Quando o cone é inserido dentro d'água temos:
V' =
,
Onde V' é o volume do cone que se encontra acima do nível da água. Colocando também em função de h':
Calculando agora a razão entre h e h' (altura do novo cone que se encontra acima do nível da água):
Assim, de acordo com o enunciado, h = 32 cm, então substituindo esse valor na equação acima, temos que h' = 4 cm. A altura da parte submersa é a altura total do cone menos a parte que se encontra acima do nível da água, então:
h - h' = 32 - 4 = 28 cm
Gabarito do Professor: Alternativa E.
Gabarito da Banca: Alternativa C.
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Meu Raciocínio: Volume do cone é "pi"*(r)²*h/3 mas o raio da base varia linearmente com a altura (se x*h, então x*r), logo se "pi"*(x*r)²*(x*h)/3 = 1/8*"pi"*(r)²*h/3, então (x*r)²*h=1/8*r²*h, logo x²*x=1/8, x³=1/8 => x=1/2 (esta seria a proporção da altura que representaria um volume de 1/8), logo 1/2*32 =16 (esta seria a altura da parte emersa), logo, sobrariam 16 cm sob a água.
Acho que eu acabei de deduzir a fórmula que o Hugo postou, mas foi assim que resolvi.
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O professor explicou bem a questão, no entanto, seu raciocínio julgou como alternativa "CORRETA" a letra E. Concordo!
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Acho que não tem como o raciocínio do professor estar correto. Segundo ele, a resposta correta seria letra E (28 cm), mas isso corresponderia a 7/8 da altura do cone. É só pensar num iceberg: se ele tem um volume de 1/8 fora d'água, sua altura descoberta não pode ser de 1/8 também, porque o volume embaixo é muito maior. Isso teria lógica para um cilindro: se um cilindro tem uma altura de 1/8 fora d'água, também estará com um volume de 1/8 fora d'água. Mas o cone tem um volume muito maior embaixo do que em cima.
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Questão de semelhança entre sólidos.
Supondo dois sólidos semelhantes entre si, com arestas ou lados ou alturas iguais a h e H respectivamente. Suponha que a razão de semelhança h/H é igual a k. Demonstra-se, da semelhança entre sólidos, que a razão entre as áreas destes sólidos é k² e a razão entre seus volumes é k³. Assim, fica fácil resolver a questão:
Altura acima do nível da água: h;
Volume do cone acima do nível da água: v;
Altura total do cone: H ;
Volume do cone total : V;
Altura submersa: H-h.
Das semelhanças acima mencionadas, vêm:
v/V = k³ = 1/8 => k = 1/2
Logo, h/H = 1/2, isto é, a altura do cone acima da superfície da água é a metade da altura do cone total: 16 cm.
Desta forma, a altura da parte submersa é H-h = 32 - 16 = 16 cm.
Gab: C.
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Sabe onde o Professor do comentário ERROU, foi em considerar Ab ( Area da base) como iguais tando para cone submerso quanto para o cone acima da superfície..... veja em h= 3V/Ab e no h'=3V'/Ab perceba que ele considerou as areas da base iguais isso está ERRADO, são cones diferentes...., facam pelo metodo de Victor Gugo q está correto, letra C corretíssima, esta questão se resolve por uma formula de semelhanca entre as Areas das bases e das alturas (A maior /A menor)= H^2/ h^2 nessa ordem.....
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É praticamente uma regra de três, na qual de um lado se encontra a altura e de outro o volume; como o volume é tridimensional, coloca-se uma potência de valor 3 no lado da altura. Dessa forma, fica 32³ (altura total do cone elevado ao cubo) está para o V (volume), assim como H³ (altura que se pede elevado ao cubo) está para V/8 (1/8 do volume). Cálculo: 32³.1/8=H³ (já cortados os volumes), logo, H=32/2=16.
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eita FGV que pega pesado. Enunciado péssimo!!!
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Realmente essa questão foi feita para o candidato ERRAR, salvo os "P.G" das galáxias.
Eu errei a questão, mas resolvi estudar o caso. E descobrir que a Razão entre Volumes é igual a uma constante k³ (elevada ao cubo).
Como na questão foi dado que o volume do cone que estava fora d'água é 1 / 8, logo V2 / V1 = 1 / 8, e sabemos que a razão é uma constante k³. Logo, 1 / 8 = h³(do cone fora d'água) / H³(32).
1 / 8 = h³ / 32³
8h³ = 32³
h = 32 / 2
h = 16. Esta é a altura do cone fora d'água.
E você subtraindo 32 de 16, temos 16cm.
A FGV foi "escrota" nesta questão...
Razão entre volumes: http://www.amma.com.pt/?tag=razao-de-semelhanca
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Nem o professor chegou ao resultado, como acertar uma questão dessa...?
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Todo mundo que está resolvendo errado esta questão é pq está desprezando a diferença entre os raios. Se usou a informação de volume, não se pode desprezar a diferença entre os raios. É com a relação entre eles que a questão pode ser resolvida.
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A maneira de resolver a questão corretamente é esta:
(Volume do cone total) Vt , (Altura do cone total) Ht, (Raio do cone total) Rt;
(Volume cone acima da água) v, (Altura do cone acima da água) h, (Raio da base do cone acima da água) r;
e (Ângulo de abertura do cone) theta.
Vt = (Ht*pi*Rt²)/3 / v = (h*pi*r²)/3 / r = tg(theta)*h (Aplicando essa equação, podemos reduzir a fórmula do volume)
Vt = {Ht*pi*[H*tg(theta)]²}/3 / v = {h*pi*[h*tg(theta)]²}/3 (Sabe-se que Vt/v = 8)
Vt/v = 8 = h³/Ht³ (Cancelam-se os "pi" e "tg²(theta)")
Ht³ = h³*(2³) Ht = 2*h (Tirando a raiz em abos os lados)
h = Ht/2 Portanto: h = 16 cm
Muito boa, a questão!
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Galera, para não enlouquecer nesta questão utilizem semelhança de triangulos.
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Tão difiícil que até o professor do QC errou.
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se o professor do QC que é phd errou, imagine eu.
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v / V = ( h / H ) ³
v = 1 / 8 de V
(V/8) / V = ( h / H ) ³
1 / 8 = ( h / H ) ³ fazendo a raiz cúbica dos dois lados temos que 1 / 2 = h / H
1 / 2 = h / 32
32 / 2 = h
16 = h
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O erro do professor é considerar a área igual nos dois cone, quem fez engenharia sabe que a área vai variar com a altura, resposta letra C
fiz assim: V1/V2 = (h2/h1)^3
v1= 1
v2=1/8
h2=?
h1=32
obs: v1 pode ser o volume que vc quiser, vai da certo, se eu coloco v1=10 o v2 seria 10/8
resolvendo da 16cm