Questão 1293589

• Banca: CESGRANRIO
• Órgão: Petrobras
• Ano: 2012
• Provas: CESGRANRIO - 2012 - Petrobras - Engenheiro de Produção Júnior-2012
• Disciplina: Estatística
• Assuntos: Estimativa de Máxima Verossimilhança; Inferência estatística

Ensaios em laboratório, tendo probabilidade ? (desconhecida) de sucesso em cada tentativa, são realizados sucessiva e independentemente até a ocorrência do primeiro sucesso. Para cada realização experimental, seja X a variável aleatória que representa o número de ensaios realizados até a ocorrência do primeiro sucesso.

Se quatro realizações são feitas em laboratório, obtendo-se a amostra {3, 3, 4, 5}, o estimador de máxima verossimilhança para ?, à luz dessa amostra, é dado por

• A. 1/3
• B. 1/5
• C. 1/15
• D. 4/15
• E. 47/60

Gabarito: D

Comentários

• O estimador de verossimilhança é a melhor medida para a distribuição considerada. Neste caso, a distribuição é geométrica, e o est. é a média geométrica: 1 sobre a média.

  Assim, MG = 1 / [(3+3+4+5)/4] = 4/15.
  

• Para resolver essa questão devemos maximizar o estimador Θ para cada observação realizada sobre a amostra de ensaios dada {3,3,4,5}. Isso significa que, para obtenção do primeiro sucesso no primeiro ensaio foram necessárias 3 retiradas, no segundo ensaio foram 3, no terceiro foram 4 e no quarto 5.

  Θ é um estimador de máximo de verossimilhança se e somente se ele atinge o valor máximo para cada X observado(conjunto dado na questão), isto é max P(X|Θ).
  Quando temos mais de um valor observado, nosso caso na questão(4 obsevações), precisamos fazer o produto das distribuições de probabilidade condicionais, ou seja

  P(X|Θ)=P(x1|Θ)*P(x2|Θ)*P(x3|Θ)*P(x4|Θ). Nossa missão é maximizar essa função.

  A distribuição é a geométrica, ou seja, P(X|Θ)= Θ(1-Θ)^(x-1).

  Logo devemos maximizar

  P(X|Θ)= Θ(1-Θ)^2 * Θ(1-Θ)^2 * Θ(1-Θ)^3 * Θ(1-Θ)^4.
  P(X|Θ)= Θ^4 * (1-Θ)^11.

  Se você derivar essa função em relação a Θ e igualar a zero(equação de verossimilhança), encontrará que o valor de Θ que maximiza a probabilidade de ocorrência de X é Θ=4/15.