Questão 1390972

• Banca: FGV
• Órgão: SEFAZ- MT
• Ano: 2014
• Provas: FGV - 2014 - Prefeitura de Cuiabá - MT - Auditor Fiscal Tributário da Receita Municipal - Prova I; FGV - 2014 - SEFAZ- MT - Auditor Fiscal Tributário da Receita Municipal - Prova 1
• Disciplina: Matemática Financeira
• Assuntos: Conceitos fundamentais de Matemática Financeira; Taxa efetiva e Taxa Nominal

A taxa efetiva anual equivalente à taxa nominal de 10% ao ano, capitalizada mensalmente, será

• A. igual a 10%.
• B. menor do que 10%.
• C. menor do que a taxa efetiva anual equivalente obtida sob capitalização trimestral.
• D. maior do que a taxa efetiva anual equivalente obtida sob capitalização semestral.
• E. maior do que qualquer taxa efetiva anual equivalente obtida sob capitalização diária, semestral, trimestral ou anual.

Gabarito: D

Comentários

• Quanto MAIOR for a frequência de capitalização de uma taxa nominal, MAIOR será a taxa efetiva.

  Logo, uma Cap mensal resulta em uma taxa efetiva maior do que semestral e trimestral.

  A letra E erra ao falar em Cap diária.

• Não precisa fazer conta nesta questão!

• Não entendi porque erra em falar em capitalização diária, não existe, é isso?

• suzana, erra porque a taxa diária seria maior que a mensal. A questão diz o oposto.

• taxa nominal de 10%aa, capitalizada mensalmente => 10%/12 = 8,33% am. Taxa equivalente anual = 1,0833 ˆ12 = 1,1047 ou 10,47% aa.

  
  

  a) igual a 10%. => errado é maior = 10,47%aa;

  
  
  b) menor do que 10% => errado é maior = 10,47%aa;
  
  
  c) menor do que a taxa efetiva anual equivalente obtida sob capitalização trimestral. => 10%/4 = 2,5% at => 1,025ˆ4 = 1,1038 ou 10,38 aa. => errado é maior  = 10,47%aa;
  
  
  d) maior do que a taxa efetiva anual equivalente obtida sob capitalização semestral. => 10%/2 = 5%as => 1,05ˆ2 = 1,1025 ou 10,25% aa => correto é maior = 10,47%aa;
  
  
  e) maior do que qualquer taxa efetiva anual equivalente obtida sob capitalização diária, semestral, trimestral ou anual. 
  
  
  Capitalização diária e equivalente anual: 10%/360 = 0,027778% ad => 1,000278ˆ360 = 1,105156 ou 10,51% aa.

  A taxa equivalente da capitalizada mensal (8,33% => 10,47%) é maior que a trimestral (2,5% => 10,38%), semestral (5% => 10,25%) e a anual 10%. Contudo, é menor que a diária (0,0278% => 10,51%).

  
  

  Assim, os números demonstram que quanto MAIOR for o fator de capitalização da taxa nominal (imaginem a "quantidade de giros" que a taxa dá => diária > mensal > trimestral > anual), maior também será sua equivalente anual, pois é uma mera multiplicação. 
  

  
  

  Dá para resolver sem cálculo? Se tiver esse racional (ou algum parecido) na cabeça ...

• Um ano tem 2 semestre ou 4 trimestre ou 12 meses ou 365 dias. Como a taxa efetiva de um período é diretamente proporcional à frequência de capitalização nesse período, a taxa efetiva anual cuja capitalização é mensal (frequência de 12 ciclos), será sempre menor do que numa capitalização diária (frequência de 365 ciclos)

• Dados da questão:

  Taxa efetiva anual=?

  Taxa nominal = 10% a. a. capitalizada mensalmente

  Taxa efetiva mensal = 10/12= 0,84% a.m.

  Calculamos a taxa efetiva anual (um ano = 12 meses), logo:

  (1+i_m)^12 = (1 + i_a)

  (1+ 0,0083)^12 = (1 + i_a)

  1,1047 = (1 + i_a)

  0,1047 =  i_a

  i_a = 10,47%

  Na sequência, passamos a analisar as alternativas:

    A) Errado. A taxa efetiva anual equivalente à taxa nominal de 10% ao ano, capitalizada mensalmente, 10,47%, é maior que 10%.

    B) Errado. Idem “A".

    C)Errado. A taxa efetiva anual equivalente obtida sob capitalização trimestral é igual a :

  Taxa nominal = 10% a. a. capitalizada trimestralmente

  Taxa efetiva trimestral = 10%/4= 2,5% a.t.

  Calculamos a taxa efetiva anual (um ano = 4 trimestres), logo:

  (1+i_t)^4 = (1 + i_a)

  (1+ 0,025)^4 = (1 + i_a)

  1,1038 = (1 + i_a)

  0,1038 =  i_a

  i_a=10,38%

  Assim, a taxa efetiva anual equivalente à taxa nominal de 10% ao ano, capitalizada mensalmente, 10, 47%, é maior do que a taxa efetiva anual equivalente obtida sob capitalização trimestral, 10,38%.

    D)Certo. A taxa efetiva anual equivalente obtida sob capitalização semestral é igual a :

  Taxa nominal = 10% a. a. capitalizada semestralmente

  Taxa efetiva semestral = 10%/2= 5% a.s.

  Calculamos a taxa efetiva anual (um ano = 2 semestres), logo:

  (1+i_s)^2 = (1 + i_a)

  (1+ 0,05)^2= (1 + i_a)

  1,1025 = (1 + i_a)

  0,1025 =  i_a

  i_a=10,25%

  Assim, a taxa efetiva anual equivalente à taxa nominal de 10% ao ano, capitalizada mensalmente, 10, 47%, é maior do que a taxa efetiva anual equivalente obtida sob capitalização semestral, 10,25%.

    E)Errado. A taxa efetiva anual equivalente da capitalizada mensal (10,47%) é maior que a capitalizada trimestralmente (10,38%), semestralmente (10,25%). No entanto, é menor que a capitalizada diariamente (10,51%).

  Taxa nominal = 10% a. a. capitalizada diariamente

  Taxa efetiva diária = 10%/360= 5% a..

  Calculamos a taxa efetiva anual (um ano = 360 dias), logo:

  (1+i_d)^360 = (1 + i_a)

  (1+ 0, 00027)^360= (1 + i_a)

  1,1051 = (1 + i_a)

  0,1051 =  i_a

  i_a=10,51%

  Obs: Não precisávamos fazer nenhuma conta nesta questão, bastava-nos saber que, quanto maior a capitalização da taxa nominal, diariamente, por exemplo, maior também será sua equivalente anual.

  Gabarito: Letra “D"
  

• 
  

  
  

  veja que
  

  
  

  taxa nominal 10% aa capitalizada mensalmente é igual:

  i = 10/12 = 0,83%

  
  

  1) considerando capitalização mensal

  (1 + i)¹ = (1 + 0,0083)¹² 

  i = (1 + 0,0083)¹²  -1

  i = 10,4274
  

  
  

  2) considerando capitalização trimestral

  (1 + i)¹ = (1 + 3*0,0083)^4
  

  i = (1 + 3*0,0083)^4  -1

  i = 10,3812%
  

  
  

  3) considerando capitalização semestral

  (1 + i)¹ = (1 + 6*0,0083)² 

  i = (1 + 6*0,0083)²  -1

  i = 10,1025%

  
  

  
  

  assim:

  Quanto MAIOR for a frequência de capitalização de uma taxa nominal, MAIOR será a taxa efetiva.

  Logo, uma Cap mensal resulta em uma taxa efetiva maior do que semestral e trimestral.

  A letra E erra ao falar em Cap diária.

  logo alternativa d)
  

  
  
  
  

• O problema nao teria que fornecer o valor de 1,0083^12 ?

• De cara eliminei a opção A e B, depois verifiquei que as demais tratavam-se de analise, portanto, para calcular com 10%a.a estava complicado sem calculadora, acabei escolhendo uma taxa de 12%a.a e calculando suas capitalizacoes semestrais, trimestrais e mensais e no final da analise a unica que se encaixou foi a letra D

• Gente que mongolisse fazer 1,0833 elevado a 12.... kkkk

• 1,0833 ˆ12 = 1,1047

• COMENTÁRIO DA PROFESSORA

   

  Não precisávamos fazer nenhuma conta nesta questão, bastava-nos saber que, quanto maior a capitalização da taxa nominal, diariamente, por exemplo, maior também será sua equivalente anual. 

   

• Quanto maior for a frequência de capitalização de uma taxa nominal, maior será a taxa efetiva. Deste modo, a taxa de 10%aa com capitalização mensal corresponde a uma taxa efetiva anual maior que 10%. Assim, a alternativa D é a correta, pois a taxa mensal possui frequência de capitalização maior que a semestral, levando a uma taxa efetiva maior. Note que C está errado, pois a capitalização mensal tem frequência maior que a trimestral, levando a uma taxa efetiva maior.

  Resposta: D