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Persistir, insistir, recusar e hesitar, nos casos acima, exigem a preposição 'em'. Quanto ao por,  todos os itens estão corretos.
Gabarito: E.
                             
                        
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No sentido de sentir admiração, o verbo "Admirar" é Pronominal:
O turista admirou-se quando viu a grandiosidade das pirâmides.
A menina admirou-se no espelho por alguns instantes.
É importante observar que, quando o verbo "Admirar" for pronominal, se houver complemento, este deverá ser precedido de preposição:
Dona Chica admirou-se do berro que o gato deu.
                             
                        
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Persiste em...
Insiste em...
Hesita em..
Recusa-se em...
Admiram de...
                             
                        
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Eles se admiram de que tenhamos preferência por funcionários mais experientes.
Regência verbal: Admirar é pronominal, exige complemento com preposição "de".
Regência nominal: Preferência a, por.
GABARITO -> [E]
                             
                        
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 a) Persiste de falar conosco, que somos os responsáveis por tudo.
    Persiste em falar conosco, que somos os responsáveis por tudo.
Quem persiste, persiste EM algo/alguma coisa.
 
 b) Ele insiste de negar tudo, mas é suspeito por ter recebido propina.
    Ele insiste em negar tudo, mas é suspeito de ter recebido propina.
Quem insiste, insiste EM algo/alguma coisa. Quem é supeito, é suspeito DE algo/alguma coisa. Sentido de "o culpado de algo".
 
 c) Há um que hesita de fazer o negócio; os demais são favoráveis por comprar o terreno.
    Há um que hesita em fazer o negócio; os demais são favoráveis a comprar o terreno.
Quem hesita, hesita EM fazer algo/alguma coisa, com sentido de "expressar dúvida em relação a alguma coisa." Quem é favorável, é favorável A algo/alguma coisa ou A alguém.
     
 d) Recusa-se de ajudar, ficando indiferente por nosso problema.
    Recusa-se a/em ajudar, ficando indiferente ao nosso problema.
Quem recusa, recusa algo/alguma coisa. Quem SE recusa, recusa-SE A algo/alguma coisa. Tem sentido de "negar-se a". Quem é indiferente, é indiferente A algo/alguma coisa ou A alguém.
 
 e) Eles se admiram de que tenhamos preferência por funcionários mais experientes. CORRETA!
Quem admira, admira algo/alguma coisa ou alguém. Quem SE admira, admira-SE DE algo/alguma coisa. Quem tem preferência, tem preferência POR algo/alguma coisa ou alguém.
                             
                        
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Encontrei uma lista de regências verbais em um site:
http://www.revisoeserevisoes.pro.br/gramatica/regencias/
                             
                        
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Pra quem teve dúvida com eu do verbo admirar segue uma dica:
Dona Chica admirou-se do berro que o gato deu.
Ou seja o verbo admirar é:
 Transitivo Direto:
Os visitantes admiravam as obras de arte.
 Intransitivo:
Considerando seu egoísmo habitual, essa atitude de generosidade admira muito.
 Pronominal:
se houver complemento, este deverá ser precedido de preposição:
O professor admirou-se do desinteresse dos alunos.
 
Tenha fé, você já venceu!
 
                             
                        
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Alguém sabe qual a função da oração??? de que tenhamos pref.... da letra E?
errei pois pensei que admirar só poderia ser TD...
                             
                        
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A) Persiste  em (de) falar conosco, que somos os responsáveis por tudo.
 
B) Ele insiste em (de) negar tudo, mas é suspeito de (por) ter recebido propina.,
 
C) Há um que hesita em (de) fazer o negócio; os demais são favoráveis em  (por) comprar o terreno.
 
D) Recusa-se em (de) ajudar, ficando indiferente aos (por) nosso problema.
 
E) Eles se admiram de que tenhamos preferência por funcionários mais experientes.
 
Gabarito: “E”
                             
                        
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ÓTIMO EXEMPLO Daniela Lyra!
Dona Chica admirou-se do berro que o gato deu.
Obrigado!
                             
                        
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Melhor dica: Pra quem teve dúvida com eu do verbo admirar segue uma dica:
Dona Chica admirou-se do berro que o gato deu.
Ou seja o verbo admirar é:
 Transitivo Direto:
Os visitantes admiravam as obras de arte.
 Intransitivo:
Considerando seu egoísmo habitual, essa atitude de generosidade admira muito.
 Pronominal:
se houver complemento, este deverá ser precedido de preposição:
O professor admirou-se do desinteresse dos alunos.
 
Tenha fé, você já venceu!
                             
                        
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GABARITO: E
 
a) Persiste em falar conosco, que somos os respon sáveis por tudo
b) Ele insiste em negar tudo, mas é suspeito por ter recebido propina.
c) Há um que hesita em  fazer o negócio; os demais são favoráveis por comprar o terreno.
d) Recusa-se (a/em)  ajudar, ficando indiferente ao nosso problema.
e) Eles se admiram de que tenhamos preferência por funcionários mais experientes.
                             
                        
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por pelo de 
                             
                        
                            - 
                                
E
                             
                        
                            - 
                                
Que texto bacana de se ler :) Adorei as ideias
                             
                        
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Na passagem – Outras são promíscuas (embora prefiram a palavra “gregária"): estão sempre cercadas de muitas outras: Que. De. Por. –, as palavras destacadas são preposições. Assinale a alternativa em que elas estão empregadas de acordo com a norma padrão de regência verbal e nominal
Compilação: 
A) Persiste de falar conosco, que somos os responsáveis por tudo
    Persiste em falar conosco, que somos os responsáveis por tudo.
     Quem persiste, persiste EM algo/alguma coisa.
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B) Ele insiste de negar tudo, mas é suspeito por ter recebido propina.
    Ele insiste em negar tudo, mas é suspeito de ter recebido propina.
Quem insiste, insiste EM algo/alguma coisa. Quem é suspeito, é suspeito DE algo/alguma coisa. Sentido de "o culpado de algo".
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C) Há um que hesita de fazer o negócio; os demais são favoráveis por comprar o terreno.
     Há um que hesita em fazer o negócio; os demais são favoráveis a comprar o terreno.
                  Ou hesita fazer o negócio.
Quem hesita, hesita EM fazer algo/alguma coisa, com sentido de "expressar dúvida em relação a alguma coisa." Quem é favorável, é favorável A algo/alguma coisa ou A alguém.
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D) Recusa-se de ajudar, ficando indiferente por nosso problema.
     Recusa-se a/em ajudar, ficando indiferente ao nosso problema.
Quem recusa, recusa algo/alguma coisa. Quem SE recusa, recusa-SE A algo/alguma coisa. Tem sentido de "negar-se a". Quem é indiferente, é indiferente A algo/alguma coisa ou A alguém.
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E) Eles se admiram de que tenhamos preferência por funcionários mais experientes. [Gabarito]
Quem admira, admira algo/alguma coisa ou alguém. Quem SE admira, admira-SE DE algo/alguma coisa. Quem tem preferência, tem preferência POR algo/alguma coisa ou alguém.
Regência verbal e nominal
O Assunto Regência é Exatamente o emprego da Preposição.
Regência verbal:  Preposição em relação ao verbo.
Ex: Que gosta, Gosta de; Quem se refere, refere-se a; Quem concorda, concorda com etc...
Regência nominal:  Preposição em relação em relação aos substantivos, aos Adjetivos e aos Advérbios.
Ex: Referente a; Resistente a; Capacidade de etc...
 
 
                             
                        
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para aqueles que desejam ter maior acertividade nas questões de regência verbal, devem sempre verificar se a preposição após o verbo está se encaixando dando o sentido que pede.
                             
                        
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Precisa ler tudo... Não dá para ler, acreditar que é a certa e ignorar as demais alternativas. :(