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Fórmulas:
a) sen²x + cos²x = 1
b) sen2x = 2.senx.cosx
c) cos2x = sen²x - cos²x
Sabemos pela questão que sen x = 3/5
Agora é só substituirmos nas equações para acharmos os valores de: cosx, sen2x e cos2x
Vamos encontrar:
cosx = -4/5 (sinal negativo devido π/2 < x < π referir-se ao segundo quadrante e no cosseno o sinal é negativo)
sen2x = -24/25
cos2x = -7/25
Gabarito: letra D
sen 2x < cos x < sen x
-24/25 < -4/5 < 3/5
* Acredito que seja essa a resolução da questão. Se alguém souber outra forma poste nos comentários.
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Olá Sheila... Muito boa sua colocação. Só um porém, o seno não seria positivo por estar no segundo quadrante ? Se sim, já contrariaria a resposta
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Solução:
Para responder esta questão precisamos conhecer uma formula das relações fundamentais da trigonometria: sen²x + cos²x = 1 e mais duas fórmulas, seno do arco duplo e cosseno do arco duplo: sen2x = 2.senx.cosx e cos2x = sen²x - cos²x
aplicando a primeira fórmula temos: sen²x + cos²x = 1 à (3/5)² + cos²x = 1 à Cosx = 4/5 mas como a questão menciona que está entre os ângulos 90º e 180º teremos um cosseno de valor negativo Cosx = -4/5.
Aplicando a fórmula do seno do arco duplo temos: sen2x = 2.senx.cosx à 2*(3/5)*(-4/5) à sen2x = -24/25
Aplicando a formula do cosseno do arco duplo temos: cos2x = sen²x - cos²x à 9/25 – 16/52 = -7/15
Temos:
Senx = 3/5 Cosx = -4/5 Sen2x = -24/25 Cos2x = -7/25à tirando o mmc de todos os denominadores e multiplicando o resultado pelos numeradores teremos números inteiros que representarão de forma proporcionais os valores dos senx, cosx, sen2x e cos2x: Senx = 15 Cosx = -20 Sen2x = -24 Cos2x = -7 à colocando em ordem: sex2x (-24) < cosx (-20) < cos2x (-7) < senx (15)
Gabarito letra D
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Só uma pequena ressalva aos comentários abaixo: cos(2x) = cos²x - sen²x, e, desta maneira, tem-se:
cos(2x)= 0,8² - 0,6² = 0,28 (positivo mesmo!)