Questão 1692346

• Banca: Instituto Acesso
• Órgão: Colégio Pedro II
• Ano: 2015
• Provas: Instituto Acesso - 2015 - Colégio Pedro II - Assistente em Administração
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

Seja X a soma dos cinco primeiros termos de uma Progressão Aritmética (PA) e Y a soma do sexto ao décimo termos dessa progressão. Sabendo-se que Y-X=100, a razão da PA vale:

• A. 4.
• B. 1.
• C. 2.
• D. 3.
• E. 5.

Gabarito: A

Comentários

• Galera, dá para fazer esta questão "equacionando"...

  1) Inicialmente, vou mostrar como se calcula a soma de uma PA.

  Ex: (2,5,8,11,14)  --- Imagine que eu queira calcular a soma desta PA de 5 termos. Obviamente, dá para fazer mentalmente, porém quero que você entenda o método que vou utilizar:

  [ÚLTIMO + PRIMEIRO] x METADE DA QTDE DE TERMOS

  [14 + 2]  X 2,5 = 16 X 2,5 = 40

  2) Vamos a montagem questão:

  Soma dos cinco primeiros = x --- Logo, [a1 + a 5] x 2,5 = x   --- Temos que o a5 = a1 + 4r   ---- [a1 + a1 + 4 r] x 2,5 = x
  

  Soma do 6º ao 10 º termos = y --- Logo, [a6 + a10] x 2,5 = y --- Temos que a6 = a1 + 5r e que a10 = a1+ 9r ---- a1 + 5r + a1 + 9r = y

  Temos um sistema, fica assim:

  [2 a1 + 4r] x 2,5 = x  ---- aplicando a distributiva, temos: 5 a1 + 10 r = x
  

  [2 a1 + 14 r] x 2,5 = y --- aplicando a distributiva, temos: 5 a1 + 35 r = y

  3) Resolução do sistema

  5 a1 + 10 r = x --- Multiplicando todos os termos por ( - 1 ) ---- - 5 a1 - 10 r = - x
  

  5 a1 + 35 r = y
  

  Agora, basta "adicionar" os termos respectivos das equações. Fica assim: 

  5 a1 - 5 a 1 = 0   -----  35 r - 10 r = 25 r   --- y - x.  Logo,

  25 r = y - x  --- r = y - x / 25  --- Como y - x = 100, temos: r = 100/25 = 4 -- Gabarito: Letra A.
  

  
  

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• Fiz de outra maneira, talvez um pouco mais trabalhosa:

  A1+A2+A3+A4+A5 = X

  A6+A7+A8+A9+A10 = Y

  O que é cada termo:

  A1 ; A2= A1+R ; A3=A1+2R ; A4=A1+3R ; A5=A1+4R ; A6=A1+5R ; A7=A1+6R ; A8= A1+7R ; A9=A1+8R ; A10=A1+9R

  Colocando na fórmula (Y-X=100)

      A6           A7         A8              A9           A10          A1      A2         A3        A4           A5

  A1+5R  + A1+6R+ A1+7R+   A1+8R+   A1+9R  -  ( A1 + A1+R +A1+2R + A1+3R +A1+4R) = 100

  (Corta todos os A1 porque tem 5 A1 - 5A1), vai ficar:

  35R-10R=100

  25R=100

  R=4

  GABARITO: LETRA A

• Fácil, primeiro transforme a1 + a2 + a3 + a4 + a5 em s5, expressando essa soma apenas em função de a1. Faça o mesmo com a6 até a10 (considere o n= 5 neste caso, já que são 5 números). 

   

  Depois é só subtrair o segundo termo menos o primeiro, o 5a1, que vai ficar em ambos os lados, vais er cancelado, pois um vai ficar negativo e outro positivo. A expressão final é 25r=100 => r=4

• eu fiz elimimando cada opção!

  Como a questao diz " que X é a soma dos 5 primeiros numeros" e "Y do sexto ao décimo" fui eliminando as opções

  opção A (4):4-8-12-16-20= 60x ==> 24-28-32-36-40= 160y... COMO Y-X=100 é so fazer a conta: 160-60=100

  opção B (1): 1-2-3-4-5=15x===> 6-7-8-9-10=40y ======== 40-15=25  COMO NAO DEU 100 ESTA ERRADA

  opção C (2): 2-4-6-8-10=30x====> 12-14-16-18-20=80y =====> 80-30=50  COMO NAO DEU 100 ESTA ERRADA

  e assim com as letras D e E

• Resolvi assim

  x > 1+2+3+4+5 15
  y > 6+7+8+9+10 40
  x-y=100
  15-40=100
  -25=100
  pa=100/25 = 4

• PA = 5 x o termo do meio ( A1 até A5 e A6 até A10) 

  X = 5 x A3 e Y = 5 x A8

  Y - X = 100 -> 5 A8 - 5 A3 = 100 (dividido por 5) -> A8 - A3 = 20

  R = 8 - 3 = 5 -> 5 R = 20 -> R = 20/5 -> R = 4

  Gabarito: A

• Etapa 1)

  A1=A1

  A2=A1+r

  A3=A1+2r

  A4=A1+3r

  A5=A1+4r

  A6=A1+5r

  A7=A1+6r

  A8=A1+7r

  A9=A1+8r

  A10=A1+9r

  Etapa 2)

  X = A1+A2+A3+A4+A5= 5 A1 + 10 r

  Y = A6+A7+A8+A9+A10 = 5 A1 + 35 r

  Etapa 3)

  Y- X = 100

  (5 A1 + 10r) – (5 A1 + 35r) = 100

  25r = 100

  ‘’r’’ = 4