Questão 1849798

• Banca: Marinha
• Órgão: CEM
• Ano: 2015
• Provas: Marinha - 2015 - CEM - Engenharia Elétrica
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Álgebra Linear; Álgebra Linear - Equações Lineares, Espaço Vetorial e Transformações Lineares e Matrizes

Se T: R³ → R³ é a transformação linear que satisfaz T( 1,0,0) = (-1,1,0), T( 0,1,0) = (0,-1,1) e T (0,0,1) = (1,0, -1),então o conjunto {(x,y,z)∈ R³::T(x,y,z) = (0,0,0)} é

• A. {(0,0,0)}
• B. a reta de equação t (1,1,1), t ∈ R
• C. o plano de equação x-y=0
• D. o plano de equação y-z=0
• E. o plano de equação x-z=0

Gabarito: B

Comentários

• ele deu o gabarito na resposta kkk, com a exceção de x-z, que na verdade é z-x, fica T(x,y,z) = (z-x, x-y, y-z) -> T(1,1,1) = (0, 0, 0)

• Visto que T(x,y,z) = x T(1,0,0) + y T(0,1,0) + z T(0,0,1), então a transformação será dada por:

  T(x,y,z) = (-x+z, x-y, y-z)

  Observe que esse conjunto {(x,y,z) | T(x,y,z) = (0,0,0) } é justamente o Núcleo de T, N(T). Sendo T(x,y,z)=(0,0,0), temos:

  x=z --> x=y --> x=y=z

  Logo,

  {(x,y,z) | T(x,y,z) = (0,0,0) } = { (x,x,x) | x é real } = {x (1,1,1) | x é real } = [(1,1,1)] --> dim (Núcleo) = 1

  Logo, algebricamente o objeto de dimensão 1 é uma reta.