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Menor número IMPAR com 5 divisores distintos: 81
Menor número PAR com 5 divisores distintos: 16
81 - 15 = 65
GABARITO: D
Divisores do 81: 1, 3, 9, 27, 81
Divisores do 16: 1, 2, 4, 8, 16
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Como chegar aos números 81 e 16?
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Se temos um número com 5 divisores distintos ou algum número com o número de divisores distintos sendo ímpar, é porque algum número multiplicado por ele mesmo vai dar o número que buscamos. Em outras palavras, esse número que tem 5 divisores obrigatoriamente é um quadrado perfeito. E logicamente,o divisor que multiplicado por ele mesmo dará o número que buscamos é a raiz quadrada desse número de 5 divisores.
Raciocionando pelos quadrados perfeitos chegamos rapidamente aos números 16 e 81.Ainda mais se antentarmos que a questão pede um par e um ímpar (quando estiver procurando o ímpar, só pensaremos nos quadrados perfeitos ímpares e quando estivermos procurando o par,só levaremos em consideração os quadrados pares).
Acha 81 - 16 = 65.
Letra D.
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45 é menor que 81 e possui 5 divisores distintos
Divisores de 45: 1, 3, 5, 15, 45
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Diogo Souza
Acho que nesse caso, faltou o divisor 9. Ai teria 6 divisores distintos.
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Regrinha:
Menor n° impar(com 5 divisores): 3^4=81 (pra achar o número de divisores é sempre somado 1 .( então se tem 5 divisores: 4+1)
Menor n° par(com 5 divisores): 2^4=16
81-16=65
Outro exemplo: numero de divisores de 60:
fatoramos 60
60 2
30 2
15 3
5 5
1
temos: 2^2 x 3^1 x 5^1 ----------> então o número de divisores é:Pega os expoentes e soma 1
(2+1)x(1+1)x(1+1)=12
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Aqui tem outra explicação porém não chega a ser tã esclarecedora.
https://www.pontodosconcursos.com.br/Artigo/VisualizarArquivo?id=59
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Para calcular a quantidade de divisores naturais de um número, devemos obter a sua fatoração prima. Depois de obtida a fatoração prima, adiciona-se 1 a cada expoente e multiplicamos. Por exemplo, vamos calcular a quantidade de divisores de 60.
60 2
30 2
15 3
5 5
1
Portanto, 60 = 2² . 3¹ . 5¹
A quantidade de divisores naturais é (2+1)(1+1)(1+1) = 12.
Para que um número seja ímpar, 2 não pode aparecer em sua fatoração prima
Portanto, o menor número ímpar com 5 divisores naturais é 3^4 = 81 (observe que devemos adicionar 1 ao expoente para calcular a quantidade de divisores). O menor número par com 5 divisores é 2^4 = 16. A diferença entre eles é 81 – 16 = 65.
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Quebrei a cabeça pra entender esta questão e não é tão dificil assim.
O menor número ímpar natural ímpar com 5 divisores distintos: imagine qualquer número ímpar e tire o seu mmc, por exemplo o 21, irá encontrar 3x7 que é o mesmo do que 3^1 x 7^1 (elevado a 1). Esse elevado que você irá usar!! (1+1) x (1+1) = 4 SEMPRE SOMAR COM +1 é a regra, então 21 tem 4 divisores distintos (1,3,7e 21).
O menor número ímpar natural com 5 divisores distintos: Neste caso a ordem está de trás pra frente, será um número elevado a 5-1 = 4 (subtrai ao invés de somar). Agora é só deduzir, 1^4 = 1 (não serve), 2^4= 16 (não serve, é par), 3^4 = 81 (é esse!)
Menor número natural par com 5 divisores distintos: Mesma coisa, quando você já tem um número dado, tira o mmc, faz a regrinha dos expoentes somando com +1 você encontra a quantidade de divisores, como não tem a única coisa que sabemos que é um número elevado a 5-1= 4. Então: 1^4= 1 (é ímpar), 2^4 =16 ( é par e se tirarmos o mmc encontraremos 5 divisores, são eles: 1,2,4,8 e 16)
81 - 16 = 65 letra D.
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Olá, alguem poderia me tirar uma dúvida entre o número 45 e o 12? Entendi a lógica e tudo legal, mas o número 45 também é divisível por 5 div distintos positivos {1,3,5,15,45}, assim como o 12 {1,2,3,6,12}. Pq não são considerados?
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Felipe Guimarães
Divisores de 45 {1,3,5,9,15,45} - ou seja, são 6 e não 5.
Divisores de 12 {1,2,3,4,6,12} - ou seja, são 6 e não 5.
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Matou, Rodrigo Salles!!!
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Para um número natural n > 1, cuja fatoração é da forma n = (2^x) . (3^y) . (5^z) . (7^a) . (11^b) and so on ......, a quantidade de divisores é dada por (x+1) . (y+1) . (z+1) . (a+1) . (b+1) ....
Exemplo:
Fatorando o número 60, temos os fatores 2, 2, 3, 5. De outro modo, 2^2, 3 e 5. Podemos escrever, portanto, 60 = (2^2) . 3 . 5.
Calculando o número de valores que podemos usar pra dividir o 60 (número de divisores) de forma exata e redondinha: (2+1) . (1+1) . (1+1) = 12. -> Somamos 1 aos expoentes dos fatores e multiplicamos todo mundo. <- Portanto, existem 12 números no universo que podem ser usados pra dividir o 60, restanto resto ZERO.
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Na fatoração de QUALQUER número ímpar, o termo 2^x não aparece, porque não da pra dividir número ímpar por 2 - ímpares não são múltiplos de 2.
Então um número ímpar é fatorado da forma n = (3^y) . (5^z) . (7^a) . (11^b) and so on. Como ele quer o MENOR número ímpar, excluimos os termos maiores que 3^y, sobrando então o número ímpar pedido no exercício: n = 3^y, que ainda não sabemos qual é. Apenas sabemos que esse bicho tem 5 divisores, logo, 5 = (y+1), sendo y = 4. Logo, esse número é n = 3^4 = 3 . 3 . 3 . 3 = 81.
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Na fatoração de QUALQUER número par, o termo 2^x aparece, porque qualquer número par é divisível por 2 - pares são múltiplos de 2.
Então um número par é fatorado da forma n = (2^x) . (3^y) . (5^z) . (7^a) . (11^b) and so on. Como ele quer o MENOR número par, excluimos os termos maiores que 2^x, sobrando então o número par pedido no exercício: n = 2^x, que ainda não sabemos qual é. Apenas sabemos que esse bicho tem 5 divisores, logo, 5 = (x+1), sendo x = 4. Logo, esse número é n = 2^4 = 2 . 2 . 2 . 2 = 16.
Diferença pedida: 81 - 16 = 65.
Vamos em frente que atrás vem gente!
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Esta questão provavelmente foi passível de recurso, conforme as situações apontadas pelos comentários. A banca não deixou claro se está contando com o divisor universal.
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Ora, se o número tem 5 divisores diferentes como pode ser fatorado em 3^4? 1*3*3*3*3 ?! Achei ambigua a questão. Entendi como: 1*3*5*7*9. :/
Ainda tem a questão de considerar o número 1 como divisor ou não...
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Puuutz....
Voltemos ao fundamental rss, e obviamente esquecido lá no fundo do baú.
Procurei na net aqui, achei essa resolução no site do Aprova:
Regra: quando se quer um número de divisores de um determinado número deve subtraiar esse número de 1. (5-1=4)
O menor número ímpar natural com 5 divisores distintos: será um número elevado a 5-1 = 4 Agora tem que ir fazendo por tentativa: 1^4 = 1 (não serve), 2^4= 16 (não serve, é par), 3^4 = 81 (é esse!)
Menor número natural par com 5 divisores distintos: Mesma coisa, 5-1= 4. Então: 1^4= 1 (é ímpar), 2^4 =16 ( é par e se tirarmos o mmc encontraremos 5 divisores, são eles: 1,2,4,8 e 16)
81 - 16 = 65
GAB letra D.
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estranho, 45 é divisível por 1,3,5,9,15 e por ele mesmo.
12 é divisil por 1,2,3,4,12.
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O 45 também tem 5 divisores distintos: 1, 3, 5, 15 e 45 e é menor que 81. Essa questão deveria ter sido anulada.
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Valeu, professor!
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63 é divisível por 63, 9 , 7 , 3, 1 --> 5 divisores e é menor que 81! alguém entendeu????
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Questão sacana, por que fala em divisores DISTINTOS, o 1 que é o universal tudo bem, mas o próprio número como o gabarito menciona 81 e 16 foram contados as divisões por eles mesmos, “distintos seriam diferentes e também diferentes deles mesmos, 45 e 12 se encaixaria mais na minha humilde opinião 45 com os divisores ( 1, 3, 5, 9, 15 ) e 12 com os divisores ( 1, 2, 3, 4, 6 ). Diferença 45 - 12 = 33 que não existe esse gabarito
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Mas 63 tem mais que cinco divisores... além de 63, 9 , 7 , 3, 1... tem 21 também, por exemplo.
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Gabarito: D
Resolução: p^4, em que p é um fator primo e 4 é o expoente (expoente + 1 = 5 @Rodrigo Salles)
O número com 5 dividores par e o menor possível, o fator primo p é igual a 2 (único primo par) = 2^4=16
O número com 5 divisores ímpar e o menor possível, o fator primo p é igual a 3 (menor primo ímpar) = 3^4=81
Logo, a diferença de 81-16=65
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Encontrei duas formas diferentes de resolução.
1° A primeira é um vídeo do canal Matemática & Raciocínio Lógico: https://www.youtube.com/watch?v=PGDa3t9bVnc&vl=pt
2° Ou, também tem essa resolução do PONTO DOS CONCURSOS:
https://www.pontodosconcursos.com.br/Artigo/VisualizarArquivo?id=73 (está na página 4).
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a explicação do professor do QC é simples e direta, da mesma forma a do ponto dos concursos:
Para que um número seja ímpar, 2 não pode aparecer em sua fatoração prima.
Portanto, o menor número ímpar com 5 divisores naturais é 3^4 = 81 (observe que devemos adicionar 1 ao expoente para calcular a quantidade de divisores). O menor número par com 5 divisores é 2^4 = 16. A diferença entre eles é 81 – 16 = 65. Letra D
em https://www.pontodosconcursos.com.br/Artigo/VisualizarArquivo?id=73 (está na página 4).
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Questão mal formulada. Quem tem 6 divisores, tem 5 também. A questão não diz "exatamente" ou "apenas" 5 divisores. Como também as questões de Direito Constitucional ou Administrativo quando elencam alguns itens de algum conceito e não trazem todos. Cada vez a banca se comporta de um jeito.
- 45 (menor que 81) tem 6 divisores: 1, 3, 5, 9, 15 e 45
- 12 (menor que 16) tem 6 divisores: 1, 2, 3, 4, 6 e 12
45 - 12 = 33 (não tem essa opção)
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Pessoal, achei a questão chatinha e não muito clara, mas a minha explicação para as dúvidas dos comentários é:
45 é divisível por 6 números, não por 5: (1, 3, 5, 9, 15, 45);
63 também é divisível por 6 números, não por 5: (1, 3, 7, 9, 21, 63);
12 NÃO é divisível por 5 números PARES (a questão não traz claramente essa necessidade, mas é a única explicação que faz sentido pra mim): (2, 4, 6, 12).
Espero ter ajudado. Bons estudos!
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Olá pessoal,
Vejam o vídeo com a resolução dessa questão no link abaixo
https://youtu.be/Bt5ZGWEY1ik
Professor Ivan Chagas
Gostou? Doe: https://pag.ae/blxHLHy
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nesta questão na minha apostila aparece a questão de forma diferente com o resultado 65, pede a diferença entre o menor numer natural impar com cinco divisores positivos distintos e o menor numero natural par, tambem com cinco divisores positivos distintos é igual a? não achei nenhuma opção, para os pares achei o 32 tem como divisores o 2,4,8,16,32. porem impar com divisor par não encontrei.
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Boa Tarde, eu não consegui entender. visto que na questão pede divisores dististos.
Como pode ser 3 por ele mesmo 4 vezes e o 2 por ele 4 vezes ??????
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Eu fiz assim:
comecei pelo menor divisor de ambos e fui subindo até chegar ao quinto divisor
logo:
1,3,9,27,81 ou seja 81 é divisível por esses 5 números
1,2,4,8,16 ou seja 16 é divisível por esses 5 números
Aí eu fiz 81-16=65
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Nao entendi a questão, por isso não resolvi.
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e o 45, tem 5 divisores, e menor que 81, e impar, mas nao bate com a resposta, aguem pode me explicar ?
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Sami R e Raquel Urtassum, no caso de 63, os divisores são 6: 1,3,7,9,21 e 63.
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O menor número natural ímpar com cinco divisores positivos distintos é 3 = 3x3x3x3 = 81. Os divisores são 1, 3, 9, 27, 81.
Vale lembrar que a quantidade de divisores pode ser obtida a partir da forma fatorada, que é 3, somando uma unidade ao expoente: (4+1) = 5.
Já o menor número natural par com 5 divisores positivos distintos é 2 = 16, cujos divisores são 1, 2, 4, 8 e 16.
A diferença entre eles é 81 – 16 = 65.
Resposta: D
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Eu entendi mais ou menos assim, como não temos o número, outra forma para achar a quantidade dos números para além da fatoração é somando um aos expoentes. Nesse caso, se o número ímpar a base não pode ser 2 apenas 3 e para ele ter 5 divisores, tem que ser o expoente mais um, que seria 4 +1, então nos resta 3 elevado a 4. O mesmo se raciocínio se aplica ao número par ficando 2 elevado a 4. Depois é só saber o valor de 3 elevado a quatro menos 2 elevado a 4 ficando 65 o resultado.
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Muito obrigada prof. Ivan Chagas.
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Para que um número seja ímpar, 2 não pode aparecer em sua fatoração prima.
Portanto, o menor número ímpar com 5 divisores naturais é 34 = 81 (observe que devemos adicionar 1 ao expoente para calcular a quantidade de divisores).
O menor número par com 5 divisores é 24 = 16. A diferença entre eles é 81 – 16 = 65.
Gabarito: D
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Para mim a questão foi mal elaborada.
Porque 12 é divisível por 1,2,3,4,6 e 12.
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só eu que pensei 1,3,5,15 e 25=75