SóProvas

ID
1941604
Banca
Marinha
Órgão
CEM
Ano
2012
Provas
Disciplina
Matemática
Assuntos

O valor de v0 em R para o qual a solução x (t ) do problema de valor inicial x'' + x' -2x=0, x (0)=0, x' (0)= v0, satisfaz x(1)= 1/ e2, é:

Alternativas
Comentários

  • Sendo x = e^(rt) em que r é um parâmetro a ser determinado. Temos então que:
    x' = r[e^(rt)] e x'' = r²[e^(rt)] 

    Sendo a equação do problema x'' + x' -2x = 0, fazendo as devidas substituições e colocando e^(rt) em evidência, temos:

    (r² + r - 2)*e^(rt) = 0. Em que e^(rt) é diferente de zero. Logo: r² + r - 2 = 0 em que (r = 1) e (r = -2) 

    Logo, com x1(t) = e^(1t) e x2(t) = e^(-2t), são ambas soluções, a combinação linear dessas funções também é solução do sistema (mais completa). E temos que a função pode ser escrita como:

    x(t) = C1*e^(t) + C2*e^(-2t) e x'(t) = C1*e^(t) - 2*C2*e^(-2t)

    para x(0) = 0: C1 = -C2. 
    para x(1) = 1/(e^2) e fazendo as devidas substituições, segue que:

    C1 = 1/[(e^3)-1] e C2 = -1/[(e^3)-1] 

    Como x'(0) = Vo. Substituindo C1 e C2 e t = -, têm-se Vo = 3/[(e^3)-1]