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GABARITO E
Em cada rodada, repare que cada ganhador recebe a mesma quantidade que tinha, dobrando o seu valor. Isto é, se eu tinha 20 reais em uma rodada e ganhei, vou ficar com 20×2 = 40 reais .
Portanto, podemos partir da situação final (cada um com 40 reais ) e ir “voltando no tempo”. Na terceira rodada quem perdeu foi Cristina. Portanto, é sinal que no início desta rodada Artur e Beatriz tinham 20 reais cada (e ao ganharem passaram a ter 20×2 = 40 no final do jogo). Como Cristina precisou dar 20 reais a cada um, e mesmo assim ficou com 40 reais no final, é porque no início da terceira rodada ela tinha 40 + 20 + 20 = 80.
Ou seja, no início da terceira rodada tínhamos: Artur com 20, Beatriz com 20, Cristina com 80.
Na segunda rodada quem perdeu foi Beatriz. Artur e Cristina ganharam. Isto sugere que Artur tinha apenas 20/2 = 10 reais , e Cristina tinha 80/2 = 40 reais , de modo que ao ganharem eles dobraram esses valores. Veja que Beatriz precisou dar 10 reais a Artur e 40 a Cristina e, mesmo assim, terminou essa rodada com 20 reais . Isto significa que ela tinha 20+10+40 = 70 reais .
Ou seja, no início da segunda rodada tínhamos: Artur com 10, Beatriz com 70, Cristina com 40. Repare que a soma dos valores em cada rodada sempre é igual a 120…
Na primeira rodada quem perdeu foi Artur. Beatriz e Cristina ganharam, dobrando seus valores. Portanto, no início da primeira elas tinham 70/2 = 35 e 40/2 = 20 reais respectivamente, e Artur tinha as 10 que sobraram no início da segunda rodada e mais 35 dados a Beatriz e 20 dados a Cristina, totalizando 10+35+20 = 65 reais .
Assim, Cristina começou com 20 reais.
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Supunha que Artur tenha A reais, Beatriz B reais e Cristina C reais no início do jogo.
Artur A
Beatriz B
Cristina C
Na primeira rodada Artur perde e paga B para Beatriz e C para Cristina. Assim, no final primeira rodada cada um tem:
Artur A – B – C
Beatriz 2B
Cristina 2C
Na segunda rodada Beatriz perde e paga A-B-C para Artur e 2C para Cristina. Assim, no final da segunda rodada cada um tem:
Artur 2A-2B-2C
Beatriz 2B-(A-B-C)-2C = 3B-A-C
Cristina 4C
Na terceira rodada Cristina perde e paga 2A-2B-2C para Artur e 3B-A-C para Beatriz. Assim, no final da terceira rodada cada um fica com 40 reais.
Artur 4A-4B-4C = 40
Beatriz 6B-2A -2C = 40
Cristina 7C-A-B = 40
Resolvendo sistema de 3 equações com 3 variáveis:
A = 65
B = 35
C = 20
Aliás, jogo estranho. Um perde e dois ganham! Mas em concurso vale tudo.
Resposta E
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Arthur Beatriz Cristina
x y z
1 rod x-y-z y+y=2y z+z=2z
2rod x-y-z+x-y-z 2y-(x-y-z)-2z 2z+2z
2x-2y-2z -x+3y-z 4z
3rod 2x-2y-2z+2x-2y-2z -x+3y-z-x+3y-z 4z-2x+2y+2z+x-3y+z
4x-4y-4z -2x+6y-2z -x-y+7z
Sistema com 3 incognitas:
4x-4y-4z=40
-2x+6y-2z = 40
-x-y+7z=40
4x-4y-4z=40
4x=40+4y+4z
x=40+4y+4z/4
x=10+y+z
-2(10+y+z)+6y-2z=40
-20-2y-2z+6y-2z=40
4y-4z=40+20
4y-4z=60
-10-y-z-y+7z=40
-2y+6z=40+10
-2y+6z=50
Sistema com duas incognitas:
4y-4z=60
-2y+6z=50
4y = 60 + 4z
y=60 + 4z/4
y=15+z
-2(15+z)+6z=50
-30-2z+6z = 50
4z = 50+30
4z = 80
z = 80/4 = 20
y=15+z
y=15+20
y=35
x=10+y+z
x=10+35+20
x=65
Valores iniciais de ARthur que é x = 65, Beatriz que é y = 35 e Cristina que e z = 20
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* o perdedor da rodada deve dar a cada um dos demais jogadores exatamente a quantia de dinheiro que cada um tem naquela rodada.
* Artur perdeu a primeira rodada, Beatriz perdeu a segunda e Cristina perdeu a terceira.
Primeira rodada: Segunda rodada: Segunda rodada:
Artur: x - y - z Artur: ( x - y - z ) + ( x - y - z ) Artur: ( 2x - 2y - 2z ) + ( 2x - 2y - 2z )
Beatriz: y + y Beatriz: 2y - ( x - y - z ) - 2z Beatriz: ( 3y - x - z ) + ( 3y - x - z )
Cristina: z + z Cristina: 2z + 2z Cristina: 4z - ( 2x - 2y - 2z ) - ( 3y - x - z )
A → ( 2x - 2y - 2z ) + ( 2x - 2y - 2z ) = 2x + 2x - 2y - 2y - 2z - 2z = 4x - 4y - 4z
B → ( 3y - x - z ) + ( 3y - x - z ) = 3y + 3y - x - x - z - z = 6y - 2x - 2z
C → 4z - ( 2x - 2y - 2z ) - ( 3y - x - z ) = 4z - 2x + 2y + 2z - 3y + x + z = 7z - y - x
* é imprescindível, ao retirarmos os elementos dos parênteses, prestar atenção ao jogo de sinais.
▪ 4x - 4y - 4z (alinhar elementos) 4x - 4y - 4z = 40
▪ 6y - 2x - 2z (alinhar elementos) - 2x + 6y - 2z = 40
▪ 7z - y - x (alinhar elementos) - x - y + 7z = 40
- multiplicaremos a última equação por dois (2), a fim de eliminar duas das três incógnitas.
4x - 2x - 2x - 4y + 6y - 2y - 4z - 2z + 14z = 40 + 40 + 80 → 4x - 4x (cancela) / - 6y + 6y (cancela)
- 4z - 2z + 14z = 40 + 40 + 80 → 8z = 80 + 80 → z = 160 / 8 = 20
R: Cristina começou a primeira rodada com R$ 20,00.
e) (gabarito) R$ 20,00.
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(eliminação comecei do menor numero 20)
Se eles começarem com 20,00
primeiro jogador
20(inicial Arthur)+20 de Beatriz+20 de Cristina=60-20 que perde por rodada = 40,00 resultado.
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acertei usando apenas a logica.. questao muito simples
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Alguém me belisca: tem comentário em vídeo para esta questão. Gente, esta questão é de matemática. Só posso estar sonhando!
Parabéns ao QC. Finalmente conseguiram um professor de matemática para comentar as questões. Obrigado.
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eu segui o processo inverso do que diz na questão:
Final 1° 2° 3° portanto: X= A3°+ B3°= 20
A: 40 20 10
B: 40 20 10
C: 40 20 10 x
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Einsten provando ser Einstein
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Comece resolvendo pela última rodada. O vacilão está marcado de vermelho .
3ª Rodada
A B C
1-
2-
3- 20 20 80 (perdedor) (quem ganhou aqui dobrou o valor no final, logo A e B tinha 20 cada)
final 40 40 40
2ª Rodada
A B C
1-
2- 10 70 40
3- 20 20 80
final 40 40 40
1ª Rodada
A B C
1- 65 35 20
2- 10 70 40
3- 20 20 80
final 40 40 40
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Não acho que quem ganhar ou quem perder, nem quem ganhar nem perder vai ganhar ou perder. Vai todo mundo perder
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Usei a alternativa para testar.
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O comentário da Sheyla R2 resolve muito fácil a questão.
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Como eu pensei:
Sao 3 jogadore e 3 jogadas = 6
Total; 40 x 3=120 que dividido por 6 e 20
alternativa (e)
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A resolução mais curta que eu encontrei foi fazer de trás pra frente da seguinte maneira:
Quem ganha dobra o valor e quem perde banca esse valor recebido pelos ganhadores, logo:
Se ao final de 3 rodadas todos estão com 40, Artur e Beatriz tinham a metade de 40 cada um na rodada 3, ou seja, 20 cada um e Cristina teve que pagar esses 20+20=40 e ainda assim cristina ficou com 40 no saldo final. Ou seja: 20+20+40 = 80
Já sabemos então que Cristina começou a 3º rodada com 80 e esse foi o resultado de duas vitórias anteriores. Ou seja, sabemos que teremos que dividir por 2 duas vezes. 2º rodada = 80/2 = 40, 1º rodada 40/2 = 20
Gabarito E