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Atenção para o fato de quando o examidar fala em capitalização esta fazendo referencia a juros compostos.
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Apenas para aqueles que ficaram um pouco perdido quanto ao valor de 1.140 do comentário do professor, ele se refere ao seguinte cálculo:
6000-4500-360(3360-3000) = 1140
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Por gentizela, não consegui resolver essa questão. Alguém poderia me ajudar?
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Luana
eu resolvi a questão de uma forma um pouquinho diferente do professor e cheguei no mesmo resultado.
Achei mais fácil.
Primeiro eu calculei o montante da primeira aplicação:
M = 3000 * (1 + 0,04)3
M = 3000 * 1,1249
M = 3374,70
2º PASSO) Calcular a diferença entre montante final (6000) e o montante da primeira aplicação (3374,7)
Assim encontraremos o montante da segunda aplicação = 2626
3º PASSO) Agora devemos calcular pela formula de juros composto o capital da segunda aplicação
2626 = C * (1 + 0,07)6
2626 = C *1,50
C = 2626/1,50
C = 1750,67
4º PASSO) Agora devemos somar os capitais para encontrarmos o valor investido nas aplicações
1750,67 + 3000 = 4750,67
5º PASSO) Subtrair o valor investido do montante final para encontrarmos os juros das aplicações
6000 - 4750,67 = 1249,34
6º PASSO) Agora é só dividir os juros pelo capital investido que acharemos a taxa efetiva (resposta da questão)
ie = 1249,34/4750,67
ie = 0,2629 * 100 = 26,29%
resposta letra "e"
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Primeiro vamos extrair todos os dados do problema:
Financeira Alfa (A)
Capital aplicado - 3.000
i - 24% a.a com capitalização bimestral. Calculando a capitalização (1 ano tem 6 bimestres portanto divide-se a taxa por 6):
i = 24/6 = 4% a.b
Financeira Beta (B)
Capital aplicado - x
i - 42% a.s com capitalização mensal. Calculado a capitalização ( 1 semestre tem 6 meses portanto divide-se a taxa por 6):
i = 42/6 = 7% a.m
O tempo da aplicação corresponde a 1 semestre. Não se esquecer de que ao colocar na fórmula, temos que igualar as medidas de tempo com a taxa de juros. Portanto para:
Alpha -> n = 3 bimestres (1 semestre = 3 bimestres)
Beta -> n = 6 meses (1 semestre = 6 meses)
O montante final das duas aplicações somavam 6.000.
MF = MA+ MB
6.000 = MA + MB
Como uma informação final. A taxa efetiva é a divisão entre os juros sobre o capital. Portanto precisamos achar o valor dos juros e do capital aplicado na financeira Beta. (ie = J / C)
* Juros rendido pela aplicação Alfa
MA = C (1+i)^n
MA = 3.000 x (1+0,04)^3 << olhar na tabela (1.04)^3
MA = 3.000 x 1,12
MA = 3.360
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J = M-C
J = 3.360 - 3.000
J = 360
* Financeira Beta. Precisamos primeiro encontrar o capital e montante da financeira Beta. Para isso utilizaremos o montante final para achar o montante da Financeira Beta e por fim seu capital.
MF = MA +MB
6.000 = 3.360 + MB
MB = 2.440
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M = C. (1+i)^n
2.440 = C x (1 + 0,07)^6 <<< olhar na tabela (1,07)^6
2.440 = 1,50 C
C = 2.440 / 1,5
C = 1.626,66
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J = M - C
J = 2.440 - 1626,66
J = 813, 34
* Com o valor dos dois juros e dos dois capitais podemos finalmente achar a taxa efetiva.
ie = J / C
ie = (JA + JB) / (CA + CB)
ie = (360 + 813, 34) / (3.000 + 1.626,66)
ie = 1.173.34 / 4.626, 66
ie = 0,2536 -> 25% (25% é o que mais se aproxima de 26%, portanto resposta E)
Agora explico porque o valor da taxa deu "1%" a menos do que o valor esperado. SImplesmente porque usei o valor da tabela.
Na tabela foi usado apenas duas casas decimais após a virgula. Quanto mais casas utilizadas após a virgula, menor a margem de erro. Para comprovar isso vou calcular sem os valores da tabela. Farei o cálculo da taxa elevada utilizando mais casas decimais (4 casas decimais, que é o mais utilizado nas provas da cesgranrio)
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Continuação do comentário acima ^
Estou fazendo um comentário extra, pois não quero parecer que a resolução está incorreta.
* Juros rendido pela aplicação Alfa (ignorarei os centavos para facilitar)
MA = C (1+i)^n
MA = 3.000 x (1+0,04)^3
MA = 3.000 x 1,1248
MA = 3.374
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J = M-C
J = 3.374 - 3.000
J = 374
* Financeira Beta
MF = MA +MB
6.000 = 3.374 + MB
MB = 2.626
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M = C. (1+i)^n
2.626 = C x (1 + 0,07)^6
2.626 = 1,5007 C
C = 2.626 / 1,5007
C = 1.749
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J = M - C
J = 2.626 - 1749
J = 877
* Com o valor dos dois juros e dos dois capitais podemos finalmente achar a taxa efetiva.
ie = J / C
ie = (JA + JB) / (CA + CB)
ie = (374 + 877) / (3.000 + 1.749)
ie = 1.251 / 4.749
ie = 0,2632 = 26%!
Quanto mais casas decimais após a vírgula eu utilizar mais preciso será o cálculo. Como a questão não tinha alternativas próximas (por exemplo 24%, 25% ou 26 %) podemos ignorar algumas casas decimais para facilitar o cálculo.
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CALCULAR ALFA
C=3.000
I=24%a.a(dividindo por 2) por ser bimestre=6% ou 0,06
T=2
FORMULA
J=C(1+I)^t
J=3.000(1+0,06)^2
J=3.000(1,060)^2
J=3.000(1,12)
J=3.360
CALCULAR BETA
C=
I=42% ou 42/6= 7% 0,07
T=6
subtrai 6.000-3360= 2.640
2.640=C(1,07)^7
2.640=1,5C
C=2.640/1,5
C=1.760
agora soma os capitais=3.000+1.760=4.760
da soma, subtrai do montante das duas aplicacoes=6.000-4760=1.240
agora sim finaliza com a divisao do 1.240/4.760=26%
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Gostaria que me explicasse como chegou a esse resultado: I=24%a.a(dividindo por 2) por ser bimestre=6% ou 0,06
Pois, se 24%a.a e por a questão pedir em bimestre, sabemos que existem 6 bimestres no ano, então seria uma taxa de 4%a.b
Preciso entender porque essa foi a forma mais fácil de chegar ao resultado.
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Suponha que a pessoa possuia um capital C antes de fazer as aplicações.
Para a aplicação de R$ 3.000,00:
A taxa de 24% ao ano, capitalizada bimestralmente, equivale a uma taxa de 24%/6 = 4% a.b (ao bimestre). Ao final de 1 semestre (3 bimestres) o montante da aplicação é 3000*(1 + 0,04)^3 = 3000*1,04^3 = 3000*1,12 = R$ 3.360,00.
O valor 1,12 foi obtido a partir da tabela do Fator de Acumulação de Capital: quarta coluna e terceira linha.
Para a aplicação do restante do capital C - 3000:
A taxa de 42% ao semestre, com capitalização mensal, corresponde a uma taxa de 42%/6 = 7% a.m. Ao final de 1 semestre (6 meses) o montante da aplicação é (C - 3000)*(1 + 0,07)^6 = (C - 3000)*1,50 = 1,5C - 4500.
O valor 1,50 foi retirado da tabela do Fator de Acumulação de Capital: sétima coluna e sexta linha.
O montante das duas aplicações juntas foir 3360 + 1,5C - 4500 = 1,5C - 1140. Como foi dito que o montante foi de 6000, então 1,5C - 1140 = 6000 => C = R$ 4.760,00.
Com esse resultado, temos que com um capital de R$ 4.760,00 aplicado da forma diversificada da questão resultou num montante de R$ 6.000,00 em 1 semestre. Isso significa rendimentos de R$ 6.000,00 - R$ 4.760,00 = R$ 1.240,00. Portanto, no período (1 semestre) a taxa efetiva de juros foi de 1240/4760 = 0,26 = 26%.
Resposta: e.
Opus Pi.
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Sabendo que uma rendeu aprox. 12% no periodo e a outra 42%, somar os rendimentos e tirar uma média simples, sempre vai dar certo quando a questão for nesses moldes (taxa efetiva)? pq 12+42/2 = 27, mais proximo do 26 da letra "e"...
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42% as __PROPORCIONAL____ 7% am
7%am _____EQUIVALENTE_____ semestre = (1,07)^6 = 1,50 ou 50%
50%-24% = 26%
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Esta questão torna-se simples lembrando da equivalência entre taxa efetiva e taxa nominal que é dada por:
ia = (1 + j/k)^k - 1;
onde: ia = taxa efetiva ao ano;
j = taxa nominal ao ano;
k = número de capitalizações no período da taxa nominal.
Então vamos lá:
Utilizando apenas a primeira aplicação:
j = 24% a.a
k = 3 pois está capitalizado ao bimestre e a questão pede ao final de 1 semestre (3 bimestres).
ia = (1+0,24/3)^3 - 1
ia = (1,08)^3 - 1
ia = 1,26 - 1
ia = 0,26 = 26%
letra e
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Financeira Alfa (A)
Capital: 3.000
Juros: 24% a.a com capitalização bimestral. Calculando a capitalização (1 ano tem 6 bimestres portanto divide-se a taxa por 6):
i = 24/6 = 4% a.b
n = 3 bimestres (1 semestre = 3 bimestres)
Financeira Beta (B)
Capital: x
Juros: 42% a.s com capitalização mensal. Calculado a capitalização ( 1 semestre tem 6 meses portanto divide-se a taxa por 6):
i = 42/6 = 7% a.m
n = 6 meses (1 semestre = 6 meses)
O montante final das duas aplicações somavam 6.000 (MA + MB = 6000).
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Cálculo do Montante de Alpha:
MA = C (1+i)^n
MA = 3.000 x (1+0,04)^3 << olhar na tabela (1.04)^3
MA = 3.000 x 1,12
MA = 3.360
De posse do Montante de Alpha podemos facilmente achar o montante de Beta, qual seja:
6.000 = 3.360 + MB
MB = 2.640
Cálculo do Capital de Beta:
M = C. (1+i)^n
2.640 = C x (1 + 0,07)^6 <<< olhar na tabela (1,07)^6
2.640 = 1,5 C
C = 2.640 / 1,5
C = 1.760
Então temos que:
Capital aplicado: Capital de Alpha + Capital de Beta = 3.000 + 1.760 = 4.760;
Montante no final do período: Montante de Alpha + Montante de Beta = 6000 (valor dado no enunciado da questão);
Período: 1 semestre;
Logo a taxa de juros efetiva para o período será:
M = C. (1+i)^n
6.000 = 4.760 (1+i)^1
1+i = 6.000 / 4.760
i = 1,2605 - 1
i = 0,2605 ou 26,05% a.s
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Que questão mais cabeluda.
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Uma taxa de 24% ao ano, com capitalização bimestral, corresponde à taxa efetiva de 4% ao bimestre (basta dividir por 6, pois temos 6 bimestres em 1 ano). Ao final de um semestre (3 bimestres), a aplicação de 3000 reais corresponderá ao montante:
M1 = 3000 x (1 + 4%)^3
M1 = 3000 x 1,12 = 3360 reais
Obs.: o valor de (1 + 4%)^3 foi obtido na tabela do enunciado
Como a soma dos dois montantes é de 6000 reais, então o montante da segunda aplicação é:
M1 + M2 = 6000
3360 + M2 = 6000
M2 = 2640 reais
42% ao semestre, com capitalização mensal, corresponde à taxa efetiva de 7% ao mês. Logo, o capital inicial desta segunda aplicação foi:
M2 = C2 x (1 + j)^t
2640 = C2 x (1 + 7%)^6
2640 = C2 x 1,50
C2 = 1760 reais
Obs.: o valor de (1 + 7%)^6 foi obtido na tabela do enunciado
Portanto, o capital inicial somava:
C1 + C2 = 3000 + 1760 = 4760 reais
Como este capital chegou ao montante de 6000 reais, os juros efetivos do período foram:
6000 = 4760 x (1 + j)
(1 + j) = 6000/4760 = 1,26
j = 1,26 - 1 = 0,26 = 26%
Resposta: E
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Essa questão é de juros compostos?
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Cadê a tabela?