Não sei falar direito matematiquês, mas vou tentar esclarecer a questão.
I - ∀x(x ∈ A → x ∈ B) → (A ⊆ B).... Isso quer dizer que para todo X que exista, se X pertence ao conjunto A e também pertence ao conjunto B, então o conjunto A está contido no conjunto B. Isso é verdadeiro. Imagine um diagrama com dois conjuntos, um dentro do outro. O que está dentro é o A, o q está fora é o B, então qualquer q seja os elementos de A, estes também serão elementos de B, sendo assim A está contido em B.
II - ∀x(x ∈ A → x ∈ B) → (A = B) ... Essa II começa igual, mas note que a conclusão a que chega é de que o conjunto A seria igual ao conjunto B, o que não é necessáriamente verdadeiro, já que como disse no item I o B na verdade é mais abrangente que o A.
III - (A ⊆ B) → ∀x(x ∈ A → x ∈ B)... A III diz a mesma coisa que a I, só que na ordem inversa, ou seja, se A está contido em B então todo X que pertecer a A pertencerá a B.
IV - (A – B = A) → ¬∃x(x ∈ (A ⋂ B))... Já a IV é uma operação com conjuntos. A-B é igual a "Tudo que tem em A e não tem em B". Se a resposta para essa operação for o próprio A, siginifica que nada foi subtraído e por sua vez que os conjuntos A e B não tinham elementos em comum, ou seja, a interseção entre eles é vazia. Disso podemos concluir que a assertiva está correta ao concluir que "¬∃ X (x ∈ (A ⋂ B))", ou seja, "Não existe X que pertença a interseção de A com B).
Portanto o gabarito da questão é a letra D) I, III e IV apenas.
Como diz Jason, Vamos por partes!
∀x= Partícula universal, Significa TODO/QUALQUER.
∃x= Partícula Existencial, Significa ALGUM.
Dentro → Fora = Condicional, antes dela, é parte que fica DENTRO do conjunto, depois dela A PARTE DE FORA do conjunto.
⊆ = Esta contido em (está dentro de ...)
I. ∀x(x ∈ A → x ∈ B) → (A ⊆ B)
Interpretando= para QUALQUER QUE SEJA X, X pertence a A(parte de dentro), então X pertence a B (parte de fora)
então A está contido em B.
fazendo o desenho dos conjuntos, vai perceber que é correto a conclusão.
II. ∀x(x ∈ A → x ∈ B) → (A = B)
Mesmo raciocínio da anterior, se A então contido em B, não se pode confirmar que A=B
III. (A ⊆ B) → ∀x(x ∈ A → x ∈ B)
Inverteu o que de perde na primeira alternativa, então está correto. Atente-se que a questão é sobre conjuntos, não sobre equivalência lógica, se fosse, estaria errado.
V. (A – B = A) → ¬∃x(x ∈ (A ⋂ B))
negação da existencial é a universal
Interpretando: retirando todos os elementos de B, resta-se os de A
qualquer que seja X (já negando a existencial), X pertence a algum elemento da união de A + B.
então, qualquer X, é elemento da união de A+B,
toda via, se fosse a intersecção, não poderíamos garantir.
Gabarito, Letra "D"
Manda mensagem que explico melhor por "whats"