Questão 249793

• Banca: ESAF
• Órgão: SMF-RJ
• Ano: 2010
• Provas: ESAF - 2010 - SMF-RJ - Fiscal de Rendas - Prova 1
• Disciplina: Raciocínio Lógico
• Assuntos: Geometria Básica

Um círculo está inscrito em um triângulo equilátero que, por sua vez, está inscrito em outro círculo. Determine a razão entre a área do círculo maior e a área do círculo menor.

• A.
• B. 2
• C. 3
• D.
• E. 4

Gabarito: E

Comentários

• GABARITO: E
  Antes de mais nada é preciso desenhar (ou imaginar) o desenho composto por um círculo menor, um triângulo equilátero por fora deste círculo e outro círculo maior, por fora deste triângulo.
  O círculo maior terá área (A) de PI . R^²/2, onde R é o raio.
  O círculo menor terá área (a) de PI . r²/2, onde r é o raio.
  A razão A/a = (PI . R^²/4) / (PI . r²/4) = (PI . R^²/4) / (PI . r²/4) = R²/r²
  
  Agora, só se precisa saber qual a relação entre os diâmetros.
  São fórmulas dedutíveis, bem como visualizáveis em um desenho bem feito:
  O raio R de uma circunferênria é igual a 2/3 da altura h de um triângulo equilátero nela inscrito.
  O raio r de uma circunferência é igual a 1/3 da altura h de um triângulo equilátero a ela circunscrito.
  
  Logo, teremos: R²/r² = (2h/3)² / (h/3)² = (2h/3)² / (h/3)² = 2² = 4
• Por que você dividiu a área do circulo por dois?
  
  So = PI. R²
• Também não entendi..
  A=Pi.R2

• A questão não fornece maiores informções sobre ás medidas das áreas e pede a razão entre a área maior e a menor . O diametro equivale ao dobro do raio (D=2r)  e ( r=1/2D) ou seja área  do circulo maior  é o diametro = 2r e a área do circulo menor é r  que equivale  metade da área maior dai a razão entre ás áreas será = 2/1/2 = 2x2/1=4.

• basta vizualizar que r junto ao R e metade de um dos lados do triangulo equilétero inscrito formam um triangulo retângulo...
  assim r/R=sen 30º --> r/R=1/2   portanto R²/r²=4
• Fiz usando alguns conceitos de geometria. Espero que ajude alguem. A figura fica assim:
  
  
  O raio do circulo de dentro é "r". O de fora vamos chamar de "R". Assim, a área de cada circulo é:
  A1 = pi*r^2 /4
  A2 = pi*R^2 / 4
  
  Fazendo a divisão, A2/A1 = R^2  / r^2   ( equação I )
  
  Agora para achar a relação de R com r, é só usar o trinagulo retangulo do desenho acima:
  
  Sen30 = r / R = 1/2
  
  logo R = 2r. 
  
  Substituindo na equação I:  A2/A1 = 4r^2 / r^2.  Corta tudo, fica : A2/A1 = 4
  
• Amigos, acho que está ocorrendo um erro conceitual ( que nesse caso não altera o resultado,  mas está errado mesmo assim ).
  A área de um circulo é sempre dada pela fórmula:
  Pi*R², ou
  Pi*(D/2)² que é a mesma coisa que Pi*D²/4
  Não confundam RAIO (R) deum círculo com o DIÂMETRO (D). O diâmetro  (D) é sempre duas vezes o raio em qualquer caso.
  São conceitos básicos de um círculo.
  D= 2*R, e por isso a fórmula usada pode ser em função de R ou de D, mas são ligeiramente diferentes conforme mostrei acima.
  
  Espero ter ajudado.
  Bons estudos!
• A solução é mais fácil de ser encontrada quando sabemos que, em todo triangulo equilatero circunscrito a um circulo, o raio do circulo inscrito é 1/3 da altura do triangulo e o raio do circulo circunscrito é 2/3. Aí partimos pra formula direta da área do circulo:
  .
  A = pi*r^2
  Para o circulo maior, temos:
  B = (2/3)^2
  Para o circulo menor:
  C = (1/3)^2
  Fazendo a proporção entre os dois, ficamos com:
  A/B = (4/9) / (1/9) = 4/1 = 4 (resposta)
  .
  Atenção: essa proporção só é válida para triangulos equilateros (todos). Não tente aplicar em outros, porque vai errar.
  
• A relação entre os raios das duas circunferências é exatamente o dobro. R= 2r
  
  A relação entre as duas áreas:
   π * R² /  π * r² =  R²/ r²
  (2r)²/ r²= 4
• 1. Para compreender a relação entre o raio das circunferências e os lados de um triângulo equilatero, assista a videoaula < >https://www.youtube.com/watch?v=UQHhU7Yvb9E > .
  
  
  2. Posteriormente lembre-se de que a área de um círculo é igual a π . r^2.
  
  
  3. Substituindo o raio pelas formulas encontradas na vídeo aula, têm-se que:
  > A área na circunferência circunscrita é 

  s= π . (l. √3 / 3)^2

  s = π . ( 3 l^2 /9)

  > circunferência inscrita:

  s= π .  (l. √3 / 6)^2

  s= π . ( 3 l^2 /36)

  4. Dessa forma, pode-se encontrar a razão entre as áreas, dividindo uma pela outra. Para facilitar desconsidere o π, bem como 3 l^2.

  Razão = ( 3 l^2 /9) / ( 3 l^2 /36)

  Multiplicando a primeira pelo inverso da segunda, chega-se ao número 4 (36 / 9 )..

  Alternativa: e
  
  
  
  

• R = raio do circulo maior 

   

  r = raio do circulo menor                                                                                                                                                                                     H = altura do triângulo                                                                                                                                                                                       H = 3 * r  ou  H = R + r  ou  R = 2r (vamos usar essa)                                                                                                                                      A questão pede a relação entre área de R e r (dividir um pelo outro), então R^2 / r^2 => X =  (2r)^2 / r^2 => 4r^2 / r^2 => X = 4

• Sendo “r” o raio do círculo inscrito no triângulo, e “R” o raio do círculo dentro do qual está inscrito o triângulo, temos a seguinte disposição:

  

         Repare que o triângulo pontilhado é retângulo, formado pelos raios dos dois círculos. O ângulo marcado é a metade do ângulo interno do triângulo equilátero, ou seja, 60º / 2 = 30º.

         Assim,

  Sen(30º) = r / R

  ½ = r / R

  ou seja,

  R / r = 2

         

         Como o raio do círculo menor é o dobro do raio do círculo menor, então sua área será 4 vezes maior, pois a área é proporcional ao quadrado do raio (R). Alternativa E.

         Se preferisse, você poderia escrever:

  Área maior =

  Resposta: E