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É só pegar a forma do an da PA e aplicá-la ao primeiro e segundo termo da PA ( isso para descobrir a razão ) an=x , a1=x^2 , n=2 . Com isso vamos descobrir o valor da razão que vai dar R = x - x^2
Aplica a fórmula do an para o 2 e 3 termo e você vai achar outra razão ( que na verdade são as mesmas , porém escritas de outra forma )
R = 2x - 6
Agora é só igualar as duas equações e descobrir a razão ..
O resultado da equação vai ter dois valores possiveis ( duas raizes ) , porém substitua o valor do x no terceiro termo da PA e veja qual torna o número negativo ( pois isso foi exigência do enunciado )
O enunciado nos fornece o valor dos três primeiros termos da PA:
a1: x²
a2: x
a3: (3x - 6)
Primeiro, precisamos encontrar o valor de x. Como temos três termos conhecidos e subsequentes, podemos usar a seguinte propriedade:
Cada termo de uma PA, a partir do segundo termo, é igual à média aritmética de seus equidistantes. Ou seja: a1 + a3 / 2 = a2
Substituindo, temos: x² + 3x - 6 / 2 = x
Resolvendo:
x² + 3x - 6 / 2 = x
x² + 3x - 6 = 2x
x² + x - 6 = 0
Ficamos com uma equação de 2º grau, onde a = 1; b = 1 e c = - 6
Resolvendo:
Δ = b² - 4 * a * c
Δ = 1² - 4 * 1 * (- 6)
Δ = 1 + 24
Δ = 25
Sabendo o valor de delta, podemos achar as raízes da equação.
- b ± √Δ / 2a
Resolvendo:
- 1 ± √25 / 2
- 1 ± 5 / 2
x1 = - 1 + 5 / 2
x1 = 4 / 2
x1 = 2
x2 = - 1 - 5 / 2
x2 = - 6 / 2
x2 = - 3
Temos as duas raízes da equação, mas temos que utilizar aquela que vai deixar o terceiro termo com valor negativo. Assim, obedeceremos ao enunciado.
a3 = 3 * 2 - 6
a3 = 6 - 6 = 0
Já sabemos que a raiz a ser utilizada aqui é - 3. Com isso, descobrimos também o valor do 2º termo, pois este é igual a x.
a2 = - 3
a3 = 3 * (- 3) - 6
a3 = - 9 - 6
a3 = - 15
Para descobrir a razão de uma P.A., basta subtrair um termo pelo seu antecessor. Como sabemos os valores de a2 e a3, podemos calcular:
a3 - a2 = r
(-15) - (-3) = r
- 15 + 3 = r
r = - 12
Finalmente, podemos dizer que o 5º termo de uma P.A. é igual ao seu primeiro termo, acrescido de quatro vezes a razão, ou, ainda, que é igual ao seu terceiro termo acrescido de duas vezes a razão. Dessa última maneira, podemos dizer que: a5 = a3 + 2r.
Resolvendo:
a5 = - 15 + 2 * (- 12)
a5 = - 15 - 24
a5 = - 39
GABARITO: Alternativa B.