GABARITO: letra A (todos os itens são verdadeiros.)
I. Supondo que A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4} e C = {5, 6, 7}:
A U A é a união (todos os elementos dos dois conjuntos) do conjunto A com o conjunto A. Portanto, A U A = A = {1, 2, 3}.
A ∩ A é a intercessão (elementos em comum dos dois conjuntos) do conjunto A com o conjunto A. Portanto, A ∩ A = A = {1, 2, 3}.
A título de exemplo, A U B = {1, 2, 3, 4}, A ∩ B = {2, 3} e A ∩ C = {Ø} = conjunto vazio.
II. O símbolo "⊂" significa "está contido". A ⊂ B significa que todo o conjunto A está dentro do conjunto B.
Se A U B representa a união dos dois conjuntos, A necessariamente está contido em A U B. O mesmo vale para B.
Se A ∩ B representa a intercessão dos dois conjuntos, A ∩ B necessariamente está contido em B, pois todos os elementos de A ∩ B estão em B.
III. A – B é uma simples subtração de conjuntos. Supondo que A = {x, y, z} e B = {w, y, z}, A – B será { x }. Os elementos fora do conjunto minuendo (que está sendo subtraído) não são considerados (no caso, apenas o elemento "w").
O símbolo "∈" significa "pertence" e o símbolo "∉" significa "não pertence". Eles servem para demonstrar se algum elemento pertence ou não a algum conjunto. Como se trata de uma subtração, o elemento que pertencer ao conjunto (A – B) não pertencerá ao conjunto B, pois o conjunto B é o conjunto subtraendo. Isso pode ser representado pela expressão vista no item III: A – B = {x: x ∈ A e x ∉ B}.
Com o conhecimento acima, podemos resolver os outros itens.
IV. Se A ⊂ B, todos os elementos de A estão em B. Um exemplo que poderia ser dado seria A = {1, 2} e B = {1, 2, 3}. A U B seria igual a {1, 2, 3}, ou seja, igual a B. Agora, se fizermos A ∩ B, chegaremos aos elementos {1, 2}. A ∩ B, portanto, é igual a A.
V. Supondo que A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4} e C = {3, 4, 5}. (As regras das operações com conjuntos são as mesmas das expressões numéricas, resolvemos primeiro o que está entre parênteses.)
B U C = {2, 3, 4, 5} ⇨ ⇨ A U (B U C) = {1, 2, 3, 4, 5} ——— A U B = {1, 2, 3, 4} ⇨ ⇨ (A U B) U C = {1, 2, 3, 4, 5} ——— Assim, A U (B U C) = (A U B) U C.
B ∩ C = {3, 4} ⇨ ⇨ A ∩ (B ∩ C) = { 3 } ——— A ∩ B = {2, 3} ⇨ ⇨ (A ∩ B) ∩ C = { 3 } ——— Assim, A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
(Leitura recomendada: Fundamentos de Matemática Elementar – Vol. 1 – Conjuntos – Funções ⇨ 2004, Gelson Iezzi, Carlos Murakami)