Questão Q85951

Considere que o sistema de reservas de um hotel organize a distribuição dos hóspedes de modo que os de mesma nacionalidade sejam agrupados apenas em apartamentos vizinhos (laterais ou frontais) e que eles ocupem o menor número possível de apartamentos de um mesmo lado de um corredor com 12 apartamentos de cada lado. Se, dos 24 hóspedes que deverão ocupar os apartamentos de um corredor, 10 têm a mesma nacionalidade, e os demais têm nacionalidades distintas, o total de formas diferentes que o sistema de reservas do hotel terá para acomodá-los nesse corredor é dado por

Alternativas

16!.

24!.

10! · 14!.

10! · 15!.

8 · 10! · 14!.

Comentários

Talvez eu não consiga explicar tão claramente o meu raciocínio, mas tentarei.

Já que os de mesma nacionalidade devem ficar juntos (lateral e frente) e ocupar o menor número possível de quartos em um mesmo lado, a solução é dividi-los em dois grupos iguais e colocá-los um em frente ao outro. Ou seja, já que são 10 de mesma nacionalidade, teremos 5 quartos de um lado, juntos, e outros 5 imediatamente à frente.

Se considerarmos esses 10 como um grande bloco (para efeito de distribuição), equivale dizer que o nosso corredor tem agora 8 quartos de um lado e 8 de outro (16 no total). Se o bloco pode ocupar qualquer par de quartos, um em frente ao outro claro, temos 8 possibilidades de o bloco estar localizado nesse corredor. (x1 = 8)

Mas e os 14 quartos restantes, já que o bloco ocupou dois? Eles serão ocupados pelos demais hóspedes de forma aleatória, ou seja, com 14! possibilidades. (x2 = 14!)

Não podemos esquecer que os hóspedes de mesma nacionalidade também poderão estar dispostos de diferentes maneiras dentro do bloco. Já que são 10, então a quantidade de possibilidades é 10!. (x3 = 10!)

Finalmente, para se calcular a quantidade total de possibilidades de distribuição nesse corredor, basta multiplicar os valores acima, ou seja:

x = x1 * x2 * x3 = 8 * 14! * 10!

Portanto, alternativa correta: e)

Bons estudos a todos!

ps. Observações em relação ao meu comentário, por favor, deixe também um recado no meu perfil. Muito obrigado!
Não entedi de onde ele tirou o X1. Se são 24 APs, e são 10 de mesma nacionalidade então, 24 - 10 = 14 e não 16.
OLÁ DANIEL,

ELE CONSIDEROU O BLOCO DE 10 COMO UM SÓ.IMAGINE:

__ __ __ __ __ __ __ __ ESSE EM VERMELHO CORRESPONDE AOS 5 QUARTOS RESERVADOS PARA O GRUPO DE MESMA NACIONALIDADE QUE ELE AGRUPOU EM UM SÓ, ATÉ MESMO PORQUE ESSE TRAÇO EM VERMELHO PODE OCUPAR OUTRAS POSIÇÕES, POR ISSO 8X.O MESMO ACONTECE DOU OUTRO LADO DO CORREDOR.10 QUARTOS ANDAM EM BLOCO NAS POSIÇÕES.

ESPERO TER SIDO CLARA!!
VALQUIRIA CÔRTES, Obrigado pela explicação.
Bom dia.!
Eu continuo sem saber o porque do 8x.
Pois o que me dá a entender é que ele dividiu o correder em três lados, contendo 8 apartamentos cada.
Alguém pode me auxiliar.??
Obrigada.
São 24 apartamentos e os hóspedes de mesma nacionalidade devem ser vizinhos: lateral ou frontalmente. Porém, logo em seguida ele diz que 'devem ocupar o menor número possível de apartamentos de um mesmo corredor', portanto deve se acomodar frontalmente e, não, lateralmente. Vejam só:

Ex. de Acomodação Lateral:

1 (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) 12
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Logo, se 10 hóspedes tem a mesma nacionalidade, eles deveriam ocupar 10 lugares sequenciais de um mesmo corredor.

Ex. Acomodação Frontal:

1 3 5 7 9 (11) (13) (15) (17) (19) 21 23
2 4 6 8 10 (12) (14) (16) (18) (20) 22 24

Logo, se 10 hóspedes tem a mesma nacionalidade, eles deveriam ocupar 5 lugares sequenciais de cada corredor.

Vejam que se forem feitas Acomodações Laterais, um corredor terá 10 dos seus 12 lugares ocupados. Se forem feitas Acomodações Frontais, cada corredor terá apenas 5 dos seus 12 lugares ocupados. Como ele disse que deve ocupar o menor número possível de apartamentos de um mesmo corredor, então o correto seria a Acomodação Frontal.

Agora vejam que os 10 de mesma nacionalidade devem ficar juntos, logo 10!.
E os 14 restantes podem ocupar qualquer um dos locais restantes, logo 14!.

Logo, 10! * 14!.

Porque, então, multiplicar por 8? A explicação já foi dada pelo colega Rodrigo Azevedo. P/ ficar mais visual, veja bem: lá em cima eu fiz um exemplo de Acomodação Frontal, mas só poderia ser essa possibilidade? Não, poderia ser feito assim por exemplo:

Ex. Acomodação Frontal:

1 3 5 (7) (9) (11) (13) (15) 17 19 21 23
2 4 6 (8) (10) (12) (14) (16) 18 20 22 24

ou

1 3 5 7 (9) (11) (13) (15) (17) 19 21 23
2 4 6 8 (10) (12) (14) (16) (18) 20 22 24

Quantas posições possíveis seriam? O Bloco poderia ser de:

1 a 9, 3 a 11, 5 a 13, 7 a 15, 9 a 17, 11 a 19, 13 a 21, 15 a 23 e seus respectivos apartamentos frontais.

Logo, são 8 possibilidades. Talvez visualmente seja mais fácil de acompanhar. Resposta: 8. 10! * 14!

Abraço.
Para ficar fácil de entender, faça assim: pegue 2 canetas de cores diferentes, no caso escolhi a vermelha e a verde.
Passos:
1. Faça uma seleção com caneta vermelha colocando os de mesma nacionalidade em um bloco no qual permita ter uma visao lateral e frontal, ou seja, selecionar os primeiros 5 do corredor de cima e depois os 5 primeiros do corredor de baixo (refere-se a primeira permutação).
2. Depois, selecionar com caneta verde os 14 restantes que sobraram correspondentes as demais nacionalidades (refere-se a segunda permutação).
3. Procure visualizar o primeiro bloco como umapossibilidade de posição possível para os 10 quarto. Porém perceba que este bloco não necessariamente precisa ser disposto da maneira descrita conforme o passo 1. Isto é, ele não necessariamente fica fixo pois poderia estar posicionado no canto direito.
4. Em seguida, contar o número de posições que esse bloco pode ter. Para isso é imagine o bloco deslizar como um todo para a direita e começe as contar o número de posições seguintes que este pode encaixar. Isto é, teria 7 posições à direita + 1 que é a própria posição do bloco, totalizando 8 posições.
5. Desta forma ficaria assim: P10xP14x8posições= 10!.14!.8
Resolvido pelo Professor Opus Pi.

O segredo da questão é ater-se ao trecho "que eles ocupem o menor número possível de apartamentos de um mesmo lado". Como temos 10 hóspedes, o número mínimo ocorre quando temos 5 em cada lado. Assim, uma das disposições é (em vermelho os de mesma nacionalidade):

Lado 1: --O--O--O--O--O--O--O--O--O--O--O--O--
Lado 2: --O--O--O--O--O--O--O--O--O--O--O--O--

Para a disposição acima, temos 10!*14! formas de disposições. Entretanto, temos 8 formas distintas de distribuir 5 de cada lado, por isso dá 8*10!*14!.

Para esclarecer, as outras 7 formas são:

Lado 1: --O--O--O--O--O--O--O--O--O--O--O--O--
Lado 2: --O--O--O--O--O--O--O--O--O--O--O--O--

Lado 1: --O--O--O--O--O--O--O--O--O--O--O--O--
Lado 2: --O--O--O--O--O--O--O--O--O--O--O--O--

Lado 1: --O--O--O--O--O--O--O--O--O--O--O--O--
Lado 2: --O--O--O--O--O--O--O--O--O--O--O--O--

Lado 1: --O--O--O--O--O--O--O--O--O--O--O--O--
Lado 2: --O--O--O--O--O--O--O--O--O--O--O--O--

Lado 1: --O--O--O--O--O--O--O--O--O--O--O--O--
Lado 2: --O--O--O--O--O--O--O--O--O--O--O--O--

Lado 1: --O--O--O--O--O--O--O--O--O--O--O--O--
Lado 2: --O--O--O--O--O--O--O--O--O--O--O--O--

Lado 1: --O--O--O--O--O--O--O--O--O--O--O--O--
Lado 2: --O--O--O--O--O--O--O--O--O--O--O--O--

Que DEUS nos abençoe !!!

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